ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

АстрономияРегиональный10 класс2021Есть решение редакция rv_35c46a2d61d42810 ID p_fad235298466779a
Предложить исправление

Синодический период астероида, движущегося по круговой орбите в плоскости эклиптики, равен тропическому году (365.2422 сут). Чему равен радиус его орбиты? (Е.Н. Фадеев*)*

Решение

Показать решение

Тропический год это промежуток времени, за который Солнце, двигаясь по эклиптике, возвращается в исходную точку, за которую обычно принимается точка весеннего равноденствия. Но сама точка равноденствия смещается по эклиптике навстречу Солнцу на 50.3″ (годовая прецессия на эклиптике). Поэтому тропический год короче периода обращения Земли вокруг Солнца.

Солнце проходит 359.9860 ∘ 359.9860^{\circ} (полный круг за вычетом годовой прецессии) за S=365.2422 сут. Значит, полный оборот вокруг Солнца Земля совершает за период

T = 360 359.9860 ⋅ 365.2422  сут = 365.2564  сут = 1.0000389  лет . T = \frac{360}{359.9860} \cdot 365.2422 \text{ сут} = 365.2564 \text{ сут} = 1.0000389 \text{ лет}.

Заметим, что синодический период астероида меньше звездного года. Для внешнего астероида такое возможно только в том случае, если он обращается вокруг Солнца в сторону, противоположную направлению орбитального вращения Земли. Воспользовавшись уравнением синодического движения, можно найти период астероида. В случае астероида на внешней орбите получаем

1 T 1 = 1 S − 1 T ; T 1 = T ⋅ S T − S ≈ 25770  лет. \frac{1}{T_1} = \frac{1}{S} - \frac{1}{T}; \quad T_1 = \frac{T \cdot S}{T - S} \approx 25770 \text{ лет.}

Период обращения астероида оказывается равным периоду прецессии земной оси. Этот же результат можно получить, рассчитав отношение ( 360 ∘ / α ) (360^{\circ}/\alpha) , где α \alpha – годовая величина прецессии.

Возможен и другой случай, если астероид внутренний с периодом обращения T 2 T_2 . Тогда

1 T 2 = 1 S + 1 T ; T 2 = T ⋅ S T + S ≈ 0.5  года. \frac{1}{T_2} = \frac{1}{S} + \frac{1}{T}; \quad T_2 = \frac{T \cdot S}{T + S} \approx 0.5 \text{ года.}

Радиус орбиты в астрономических единицах для обоих случаев можно получить из простой формулировки III закона Кеплера:

R 1 , 2 = T 1 , 2 2 / 3 . R_{1,2} = T_{1,2}^{2/3}.

Радиусы орбит равны 872 а.е. и 0.63 а.е. соответственно.