Длительность светового дня зависит от двух факторов: длительности солнечных суток на Луне и углового расстояния на небесной сфере, которое проходит Солнце с точки зрения наблюдателя.

Сначала найдем длительность солнечных суток на спутнике Земли. Солнечные сутки – это синодический период, который складывается из периода движения Луны вокруг Солнца (период обращения Земли по своей орбите) и периода вращения Луны вокруг своей оси. Заметим, что Луна синхронизирована с Землей, то есть повернута к ней всегда одной стороной. Следовательно, период обращения Луны вокруг Земли равен периоду ее осевого вращения. Таким образом, нам нужно подставить в стандартную формулу синодического периода период движения Земли по своей орбите вокруг Солнца (⊕ = 1 год) и период движения Луны по своей орбите вокруг Земли ($ = 27.32 суток). После подстановки получаем, что солнечные сутки равны синодическому периоду Луны, то есть = 29.53 суток.

Теперь определим угловое расстояние, которое Солнце пройдет по небесной сфере для наблюдателя на Луне. Согласно условию задачи, плоскость орбиты Луны совпадает с эклиптикой и лунным экватором. Следовательно, саму ось вращения Луны мы считаем перпендикулярной плоскости ее орбиты, то есть наклонение оси Луны у нас равно 0 ∘ . Для наблюдателя в любой точке на Луне Солнце за солнечные сутки проходит дугу в 180 градусов над горизонтом и дугу в 180 градусов под горизонтом, если не учитывать поправки, связанные с угловым размером Солнца и с понижением горизонта.

Теперь рассмотрим эффекты, из-за которых длительность светового дня будет отличаться от половины солнечных суток. Первый эффект – ненулевой угловой размер Солнца. Он увеличивает длительность светового дня. Второй эффект связан с положением наблюдателя в центре лунного кратера. Тут необходимо учесть понижение горизонта, а также тот факт, что часть небосвода может быть закрыта стенками кратера. Это может как уменьшить, так и увеличить световой день, в зависимости от того, какая часть небосвода открыта наблюдателю.

Рассмотрим эффект, который уменьшает световой день, – повышение горизонта, вызванное глубиной

кратера. Поскольку нам известен диаметр кратера, то мы можем определелить угол, под которым кратер виден из центра Луны:

$$d = \alpha_{\text{paj}} \cdot (R_{\text{C}})$$

$$\alpha^{\circ} = \frac{d}{R_{\text{C}}} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{85}{1738} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 2.8^{\circ}$$

Теперь определим повышение горизонта для наблюдателя. Также учтем, что наблюдатель имеет некоторый рост l, который для оценки возьмем равным 1.8 метра — средний рост человека. Использование участниками величины роста человека от 1.5 до 2 метров считается нормальным.

Рис. 4: Схема

Рассмотрим рисунок 4. Темно-серая заливка – это Луна. Светло-серая заливка – лунный кратер высотой h. В центре кратера стоит наблюдатель ростом l. Из его глаза перпендикулярно отвесной линии обозначена плоскость математического горизонта. Нам нужно определить угол $\gamma$ , на который уменьшается видимая часть небосвода с одной стороны, например, со стороны восхода Солнца.

Используя теорему косинусов, найдем длину горизонта r:

$$r = \sqrt{(R_{\mathbb{C}} + l)^2 + (R_{\mathbb{C}} + h)^2 - 2(R_{\mathbb{C}} + l)(R_{\mathbb{C}} + h)\cos\frac{\alpha}{2}}$$

$$= \sqrt{(1738 + 0.0018)^2 + (1738 + 4.7)^2 - 2\cdot(1738 + 0.0018)\cdot(1738 + 4.7)\cdot\cos\frac{2.8}{2}} = 42.8 \text{ км}$$

Угол $\gamma$ – повышение горизонта. Найдем его значение, записав теорему синусов:

$$\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{r} = \frac{\sin(90^\circ + \gamma)}{R_{\mathbb{C}} + h}$$

$$\cos\gamma = \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{R_{\mathbb{C}} + h}{r}$$

$$\gamma = \arccos\left(\sin(1.4^\circ) \cdot \frac{1738 + 4.7}{42.8}\right) = 5.84^\circ$$

Здесь стоит обратить внимание, что кратер Тихо достаточно большой, и пренебрегать в нем понижением горизонта из-за конечных размеров Луны не стоит. Вероятная ошибка, которую может сделать участник, – посчитать, что горизонт на Луне плоский, тогда стенка кратера будет возвышаться на величину 6.3°. В реальности из-за того, что часть высоты стенки кратера находится под плоскостью математического горизонта, стенка кратера для наблюдателя в его центре возвышается на величину 5.84°.

По условию задачи световой день начинается в тот момент, когда наблюдатель видит верхний край диска Солнца. В модели, где Солнце находится над горизонтом ровно половину солнечных суток, мы считаем Солнце точкой, сосредоточенной в его центре. Значит, необходимо учесть угловой радиус Солнца, который для наблюдателя на Луне, как и на Земле, равен 0.27 градуса. Этот эффект увеличивает световой день. Если бы не было повышения горизонта, то световой день был бы равен $\frac{180^{\circ}+2\cdot0.27^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot S_{cc}$ , что больше половины солнечных суток.

Определим суммарный эффект изменения угла на небе:

$$\beta = \gamma - \rho_{\odot} = 5.84^{\circ} - 0.27^{\circ} = 5.57^{\circ}$$

Теперь найдем время, за которое Солнце взойдет на угол $\beta$ над горизонтом. Поскольку все наблюдения происходят вблизи горизонта, и Солнце двигается по большому кругу, то можно воспользоваться плоским приближением. На рисунке 5 изобразим математический горизонт и линию высоты Солнца, при которой начинается световой день. Так как широта места наблюдения южная, то Солнце будет двигаться справа налево. Поскольку Солнце находится на небесном экваторе, оно будет заходить за горизонт под углом $90^{\circ} - \varphi$ .

Определим расстояние, которое пройдет Солнце по небесному экватору, пока поднимется на угол $\beta$ над горизонтом:

$$L = \frac{\beta}{\cos \varphi}$$

Солнце двигается с угловой скоростью $\omega_0 = \frac{360^\circ}{S_{cc}}$ . Выразим время, за которое Солнце пройдет расстояние L:

$$t = \frac{L}{\omega_0} = \frac{\beta}{\cos\varphi \cdot \omega_0} = \frac{5.57^\circ}{\frac{360^\circ}{29.53} \cdot \cos(-43^\circ)} = \frac{5.57^\circ}{360^\circ \cdot \cos(-43^\circ)} \cdot 29.53 \text{ дня} = 0.62 \text{ дня}$$

Рис. 5: Схема плоского приближения восхода Солнца на Луне

Заметим, что вычисленный эффект наблюдается, как на восходе Солнца, так и на заходе. Следовательно, уменьшение времени нужно учесть два раза. Тогда итоговая длительность светового дня составит

$$T = \frac{S_{cc}}{2} - 2t = \frac{29.53}{2} - 2 \cdot 0.62 = \boxed{13.51 \text{ суток}}$$

Теперь ответим на второй вопрос. Селенографические координаты отсчитываются от центра видимого диска Луны. Следовательно, через четверть синодического периода начнется восход Солнца на центральном меридиане Луны. Поскольку наблюдатель находится западнее меридиана на 11 градусов, а Солнце двигается с востока на запад, то восход на долготе наблюдателя начнется на $\Delta t$ позже. Определим $\Delta t$ :

$$\Delta t = \frac{11^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot S_{\mathbb{C}} = \frac{11^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 29.53 = 0.90 \text{ суток}$$

Тогда восход Солнца на меридиане $11^\circ$ западной долготы начнется через $t=\frac{S_{\mathbb{Q}}}{4}+\Delta t=\frac{29.53}{4}+0.9=8.28$ суток. Заметим, что в кратере Тихо восход Солнца наступит позже на t=0.62 суток, то есть через 8.28+0.62=8.90 суток после новолуния.

\boxed{13.51 \text{ суток}}