$$\frac{V}{c} = \frac{\Delta \lambda/2}{\lambda}$$ , откуда V=c $\Delta \lambda/2\lambda$

а из равенства центростремительного и гравитационного ускорений:

$$V^2/(D/2) = GM/D^2$$

Получаем $D = GM/2V^2 = GM/2(c\Delta\lambda/2\lambda)^2 = 2GM/(c\Delta\lambda/\lambda)^2$

$D = 2GM/(c\Delta\lambda/2\lambda)^2 \approx 7,5-10^{10} \,\text{м}$ (около 0,5 a.e.)

II Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике.

г. Рязань, 12-17 мая 1995г.

4. Столь большой период обращения тела (в данном случае - пули) говорит о том, что орбита тела была почти параболической, т.е. полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) пули равна нулю, и $V_0$ - почти II космическая скорость:

$$V_0 \approx (2GM/R)^{1/2}$$

Откуда

$$M \approx V_0^2 R/2G$$

Численный ответ:

$$M \approx 4, 2 \cdot 10^{21} \text{ kg}.$$

5. Можно считать, что движение спутника всё время происходит по круговой орбите, а сила сопротивления только уменьшает общую энергию спутника

$$E = -\frac{GMm}{R} + \frac{mV^2}{2}$$

Учитывая, что $V^2 = \frac{GM}{R}$

$$E = -\frac{mV^2}{2}$$

Изменение полной энергии за один оборот вокруг Земли равно -2пRF

$$-\frac{mV^{2}}{2} - 2\pi RF = -\frac{m(V + \Delta V)^{2}}{2}$$

Важно отметить, что скорость спутника увеличивается, несмотря на уменьшение полной энергии. Учитывая, что $\Delta V \leq V$ и $V = (gR)^{1/2}$ ,

получаем

$$\Delta V = \frac{2\pi F R^{1/2}}{Mg^{1/2}} \approx 0.018 \text{ m/c}$$