Задача 8.2 / 9.2

1. Ответы:

1	*	16 E	31 S(?)
2	G		` '
2	S	17 *	32 S
3	S	18 Ir	33 S
4	S	19 S(?)	34 S
5	E	20 E	35 *
6	S (взаимодействующая?)	21 S	36 Е или S a
7	S	22 S	37 S
8	S	23 Ir	38 Sa
9	S	24 S	39 S
10	Ir	25 S	40 S или Ir
11	S	26 *	41 E
12	Ir (?)	27 S	42 Sc
13	E	28 S	43 Ir
14	S	29 Sc	44 E
15	S	30 E	45 E

2. Решим задачу приближенно. Пусть a – радиус орбиты тела в а.е., P – период его обращения вокруг Солнца в годах. Так как очевидно, что тело довольно далеко, то можно считать, что оно полгода движется прямым движением, а полгода – попятным. За время прямого движения оно смещается (в радианной мере) на 2/a изза параллакса и на $2\pi/2P$ из-за «собственного движения» объекта, обусловленного его орбитальным движением. Итого при прямом движении полное смещение составляет

$$\frac{2}{a} + \frac{\pi}{P}$$

При попятном движении угловые смещения, обусловленные параллаксом и собственным перемещением объекта, очевидно, происходят в противоположных направлениях, т.е. вычитаются, а не складываются. Полное смещение при порятном движении равно поэтому

$$\frac{2}{a} - \frac{\pi}{P}$$

Чтобы происходило точное "зацепление" звеньев, нужно, чтобы половина смещения при прямом движении в точности равнялась смещению при попятном движении. Это даёт

$$\frac{1}{a} + \frac{\pi}{2P} = \frac{2}{a} - \frac{\pi}{P}$$

откуда

$$\frac{1}{a} = \frac{3\pi}{2P}$$

V Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике

Поскольку по третьему закону Кеплера $P = a^{3/2}$ (при использовании единиц "a.e." и "год"), последнее сообщение дает окончательно:

$$a = \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2 \approx 22.$$

Третий знак здесь, естественно, неуместен — надо вспомнить о приближении, которое вводится предположением, что и прямое, и попятное движения происходят точно по полгода. Соответствующий период обращения составляет около 100 лет.

«Большая полуось» каждого эллипса цепочки — это смещение объекта на небе за его один синодический период, который в нашем случае практически равен земному году (на 1% больше). Отсюда «большая полуось» — это немного меньше одной сотой длины окружности, то есть около трех с половиной градусов.

Что касается блеска объекта, то максимален он в противостоянии – середине попятного движения, а минимален в соединении – середине прямого движения.

Кстати, компьютерный имитатор видимого движения планет, позволяющий создавать искусственную планету, дает возможность весьма наглядно убедиться, что число $a\approx22$ а.е. – верное. Прямо на экране видно, что при a>22 а.е. звенья цепочки разомкнуты, а при a<22 а.е. они перекрываются.

№ 8.2 / 9.2Задача 8.2 / 9.2

V Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике