№ 9.2ДВА ВОСХОДА
Два последовательных восхода планеты в некоторой точке экватора Земли разделены промежутком времени 24ч03м. Что это за планета?
Между восходами планеты на экваторе прошло время, большее звездных и даже солнечных суток. Следовательно, эта планета за день сместилась среди звезд с запада на восток (прямое движение), причем на больший угол, чем Солнце.
Сразу можно сделать вывод, что это внутренняя планета — Меркурий или Венера.
Так как дело происходит на экваторе, изменение склонения фактически не может влиять на время восхода планеты, расположенной далеко от полюсов мира. Уравнение времени также несущественно, так как его изменение за один день намного меньше одной минуты. Два восхода планеты разделены одними звездными сутками и еще 7 минутами — именно на 7 минут или на 1.75° увеличилось прямое восхождение планеты. Ее угловое перемещение среди звезд не менее, чем
$$\gamma \ge \Delta \alpha \cos \varepsilon = 1.6^{\circ}$$
Решение
Здесь $\varepsilon$ — наклон экватора к эклиптике. Покажем, что Венера не может переместиться на такой угол за один день. Ее максимальная угловая скорость достигается в верхнем соединении (см. рисунок) и равна
$$\omega = \frac{v_0 + v_1}{l_0 + l_1} = \frac{v_0 (1 + a^{-1/2})}{l_0 (a+1)} = \omega_0 \frac{1 + a^{-1/2}}{1 + a}.$$
Здесь $l_0$ и $l_1$ — расстояния Земли и Венеры от Солнца, $v_0$ и $v_1$ — их орбитальные скорости. В последнем равенстве $\omega_0$ — угловая скорость орбитального движения Земли (0.986° в сутки), a — радиус орбиты Венеры в астрономических единицах. Максимальная угловая скорость составляет 1.25° в день. Для Меркурия, даже в случае круговой орбиты, она может достичь 1.85° в день. Итак, эта планета — Меркурий.
Ответ
Итак, эта планета — Меркурий.