На рисунке представлена некая идеализированная кривая вращения, тем не менее, похожая на то, что наблюдается в некоторых галактиках. Во внутренней части галактики круговая скорость v линейно растет с расстоянием r. Можно легко показать, что такое имеет место в случае постоянной плотности $\rho_0$ в центральной части галактики. Действительно,

$$v = \sqrt{\frac{Gm(r)}{r}} = \sqrt{\frac{4\pi G\rho_0 r^3}{3r}} = \sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{3}} \cdot r.$$

Здесь m(r) — масса части галактики внутри сферы с радиусом r. При подстановке радиуса $r_0$ скорость оказывается равной $v_0$ , отсюда мы находим центральную плотность галактики:

$$\rho_0 = \frac{3}{4\pi G} \cdot \left(\frac{v_0}{r_0}\right)^2.$$

На расстояниях, больших $r_0$ , скорость остается постоянной и равной $v_0$ , то есть

$$m(r) = \frac{v_0^2 r}{G}.$$

Рассмотрим тонкий сферический слой в гало между радиусами r и $r+\Delta r$ . Его объем равен

$$\Delta V = 4\pi r^2 \Delta r,$$

а масса составляет

$$\Delta m = m(r + \Delta r) - m(r) = \frac{v_0^2 \Delta r}{G} = 4\pi \rho(r) r^2 \Delta r.$$

Отсюда мы получаем зависимость плотности от радиуса $\rho(r)$ в случае $r > r_0$ :

$$\rho(r) = \frac{v_0^2}{4\pi G r^2} = \frac{\rho_0}{3} \left(\frac{r_0}{r}\right)^2.$$

Итак, плотность постоянна до радиуса $r_0$ , затем скачком падает в 3 раза и далее убывает обратно пропорционально $r^2$ . Этот скачок соответствует излому зависимости v(r), в реальных галактиках имеет место быстрое уменьшение плотности при переходе от балджа к гало. Нам остается найти расстояние $r_{10}$ , на котором плотность $\rho$ становится равной $\rho_0/10$ :

$$\frac{\rho_0}{10} = \frac{\rho_0}{3} \left( \frac{r_0}{r_{10}} \right)^2; \quad r_{10} = r_0 \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.8 \cdot r_0.$$

1 этап (3 балла): выражение центральной плотности галактики через заданные в условии величины $r_0$ и $v_0$ . Может быть записано в виде отдельной формулы или быть включено в общие выкладки, что также оценивается. При ошибках в численном коэффициенте, вызванной арифметическими ошибками, максимальная оценка за этап составляет не более 2 баллов, при ошибке в коэффициенте, вызванном физическими причинами — не превышает 1 балла. При ошибках в степенях величин $v_0$ и $r_0$ этап не засчитывается.

2 этап (5 баллов): выражение плотности внешней части галактики как функции радиуса. Также может быть выражено в виде отдельной формулы или быть частью общих выкладок. При ошибке в степени радиуса r этап не засчитывается, при ошибке в численном коэффициенте оценка не превышает 1 балла в случае физических, и 2 баллов – арифметических ошибок.

Вероятная ошибка при решении задачи: непрерывность зависимости $\rho(r)$ , опускание коэффициента 1/3 в формуле для плотности, ведущее к ответу $r_{10} = r_0 \sqrt{10} \sim 3.2 r_0$ . Оценка за второй этап не превосходит 1 балла, остальные оцениваются в полной мере.

3 этап (2 балла): определение величины $r_{10}$ . Определяются правильностью последнего действия, предыдущие ошибки на эту оценку не влияют.

Автор заданий: О.С. Угольников, кроме: 9.4 (Спасение планеты) – А.А. Автаева

$r_{10} = r_0 \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.8 \cdot r_0.$