Горизонтальный параллакс спутника p — это угол, под которым виден радиус планеты со спутника. Если R — радиус планеты, а a — радиус орбиты спутника, тогда

$$\sin p = \frac{R}{a}$$ .

Радиус орбиты спутника выразим из 3-го закона Кеплера: $a^3 = GMT^2/(2\pi)^2$ , где M — масса планеты, T — ее период вращения вокруг собственной оси, G — гравитационная постоянная. Возведем первое уравнение в третью степень и подставим величину $a^3$ :

$$\sin^3 p = \frac{R^3}{a^3} = \frac{4\pi^2 R^3}{GMT^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{M} \frac{3\pi}{GT^2} = \frac{3\pi}{G\rho T^2} \sim \frac{1}{\rho T^2}.$$

Здесь $\rho$ — средняя плотность планеты. Поскольку синус — монотонная функция на интервале от 0 до $\pi/2$ , то можно сделать вывод, что параллакс спутника тем больше, чем больше величина $(\rho T^2)^{-1}$ . Нужные величины приведены в таблицах, и искомые значения можно просто посчитать. Но можно сэкономить время, заметив, например, что периоды Марса и Земли почти одинаковые, тогда как плотность Марса почти в 1.5 раза меньше земной. Следовательно, параллакс спутника Марса будет больше. И периоды, и плотности газовых гигантов меньше, а значит, параллаксы их спутников будут больше. Плотность Урана равна плотности Юпитера при большем периоде. Следовательно, параллакс спутника Урана меньше, чем спутника Юпитера. Точно также, периоды Сатурна и Юпитера примерно равны, но плотность Сатурна вдвое меньше, а значит параллакс его спутника самый большой.

Правильный ответ: A, B, E, C, D.

Алгоритм оценивания. Идентично задаче 9.3.