Определим широту точки . Заметим, что промежуток времени = 11h 58m – это 1/2 звездных суток Земли (1 балл). Через указанный промежуток времени Полярная звезда должна располагаться в диаметрально противоположных точках своей суточной параллели. Значит, для наблюдателя в точке горизонт рассекает ровно по диаметру ее суточную параллель, в центре которой должен располагаться Северный полюс мира. Следовательно, последний также лежит на горизонте (1 балл) и его высота равна нулю. Таким образом, астрономическая широта места наблюдения также равна нулю, т. е. = 0∘ (1 балл), – точка наблюдения располагалась на земном экваторе.

Для наблюдателя, расположенного на земном экваторе, ось мира лежит в плоскости математического горизонта (см. рис. 1), а плоскости небесного экватора и суточных параллелей всех звезд перпендикулярны плоскости математического горизонта (1 балл). При этом небесный экватор совпадает с первым вертикалом, проходящим через точки востока () и запада (), а круги склонений светил, расположенных в данный момент на горизонте, совпадают с математическим горизонтом в тот же момент (1 балл). Значит, склонение звезды будет равно

Рис. 1: К определению склонения звезд.

угловому расстоянию от точки востока до точки ее восхода, т. е. $\delta_A = \check{E}R_A = +30^\circ$ (1 балл). Аналогично рассуждая, получаем $\delta_B = -\check{W}S_B = -10^\circ$ (1 балл).

На экваторе все звезды находятся над горизонтом время $\tau$ . Значит, в момент восхода звезды B над горизонтом время равно $T_{\rm B}^{(B)}=4^{\rm h}\,10^{\rm m}+24^{\rm h}-\tau=16^{\rm h}\,12^{\rm m}$ (1 балл). Далее воспользуемся универсальной формулой связи местного звездного времени (s), часового угла светила $(t_*)$ и его прямого восхождения $(\alpha_*)$ (1 балл):

$$s = \alpha_* + t_*, \quad \Rightarrow \quad \alpha_* = s - t_*. \tag{1}$$

Тогда разность прямых восхождений звезд будет (1+1 балл)

$$\Delta \alpha = \alpha_A - \alpha_B = (s_A - t_B) - (s_B - t_B) = (s_A - s_B) = k(T_B^{(A)} - T_B^{(B)}) = 6^{\text{h}} \, 19^{\text{m}}, \tag{2}$$

здесь учтено, что часовые углы точек восхода звезд A и B одинаковы; k=1.002739 – коэффициент перевода интервала среднего солнечного времени в интервал звездного времени (по сути равный отношению количества звездных секунд (86400) в одних звездных сутках к количеству средних солнечных секунд (86164) в одних сутках); $T_{\rm B}^{(A)}=22^{\rm h}\,30^{\rm m}$ .

Для получения этого результата можно воспользоваться немного другой последовательностью рассуждений. Звезда B заходит на $5^{\rm h}\,40^{\rm m}$ позже восхода звезды A (1 балл). За сутки солнечное и звездное время расходятся примерно на 4 минуты. Значит, за $5^{\rm h}\,40^{\rm m}$ разница между звездным и солнечным временем увеличится чуть менее чем на минуту (1 балл). Между восходом звезды A и заходом звезды B проходит, таким образом, $5^{\rm h}\,41^{\rm m}$ (звездное время течет быстрее) (1 балл). Тогда разность прямых восхождений этих звезд равна $\Delta \alpha = 12^{\rm h} - 5^{\rm h}\,41^{\rm m} = 6^{\rm h}\,19^{\rm m}$ (1 балл).

Угловая скорость видимого перемещения светила по небосводу может быть определена как отношение малого угла $\Delta \xi$ , на который изменяет свое положение светило на небосводе относительно наблюдателя, расположенного в центре небесной сферы, в результате суточного вращения, к промежутку времени $\Delta t$ , за который это изменение произошло (1 балл):

Рис. 2: К определению угловой скорости видимого перемещения звезды по небосводу.

Согласно рис. 2 угол ∆ можно представить в виде: ∆ = ℓ/ (1 балл), здесь ℓ – малая часть дуги суточной параллели звезды, которую проходит звезда за время ∆ (в силу малости дуги ℓ, последняя здесь рассматривается как дуга большого круга радиуса , где – радиус небесной сферы). С другой стороны, эту дугу можно представить в виде: ℓ = ∆ (1 балл), где – радиус суточной параллели звезды, а ∆ = ⊕∆ – угол, на который повернулось светило относительно центра своей суточной параллели () за время ∆, ⊕ – угловая скорость суточного вращения Земли. Заметим, что из треугольника ∆ следует, что cos = /. Из двух последних результатов следует, что (1 балл)

$$\omega_{\rm vis} = \omega_{\oplus} \cos \delta. \tag{4}$$

Тогда искомое отношение угловых скоростей будет (1 балл):

$$\boxed{\frac{\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)}}{\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)}} = \frac{\cos \delta_A}{\cos \delta_B} = 0.88}, \quad \text{или} \quad \boxed{\frac{\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)}}{\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)}} = \frac{\cos \delta_B}{\cos \delta_A} = 1.14}.$$

\boxed{\frac{\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)}}{\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)}} = \frac{\cos \delta_A}{\cos \delta_B} = 0.88}, \quad \text{или} \quad \boxed{\frac{\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)}}{\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)}} = \frac{\cos \delta_B}{\cos \delta_A} = 1.14}