Поток света от Луны обратно пропорционален квадрату расстояния до неё, соответственно, если принять за единицу поток света от Луны в перигее, то в апогее он составит $(9/10)^2 = 0.81$ , то есть уменьшится на 19%. В звёздных величинах (это требуется найти только ученикам 11 класса) это будет

$$-\frac{5}{2}\lg 0.81 \approx 0.23$$

Приливная сила обратно пропорциональна кубу расстояния до Луны, поэтому в перигее она в $(10/9)^3 \cdot 1,37$ раз (или на 37 %) сильнее. $\blacktriangle$

• 12. Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса $R_0 = 10000$ км обращается космический корабль с орбитальной скоростью $v_0 = 12$ км/с. В некоторый момент скорость корабля увеличили на $\Delta V = 3$ км/с без изменения её направления.
  • а. Чему стали равны после этого периастр и апоастр орбиты корабля?
  • b. Чему равна скорость корабля в апоастре.
  • с. Найдите массу планеты.

Решение. Решение задачи проще начать с пункта "с". Из условия движения корабля по круговой орбите

$$\frac{V_0^2}{R} = \frac{GM}{R^2}$$

Получаем

III Российская Олимпиада школьников по астрономии и космической физике (1995/96 г.) Региональный этап.

$$M = \frac{V_0^2 R}{G} \approx 2.16 \cdot 10^{25} \, \text{kg}$$

Периастр орбиты корабля после увеличения скорости останется равным R. Чтобы найти апоастр орбиты и скорость корабля, используем закон сохранения энергии и II закон Кеплера (через $V_1$ обозначено $V_0 + \Delta V$ ):

$$\frac{mV_1^2}{2} - \frac{GMm}{R_0} = \frac{mV_2^2}{2} - \frac{GMm}{R_2}$$

$$V_1 R_0 = V_2 R_2$$

учитывая, что $GM = V_0^2 R_0$ , и решая эти два уравнения совместно, получаем (из квадратного уравнения) два корня для $R_2$ :

$$R_2 = R_0$$ и $R_2 = R_0 \frac{V_1^2}{2V_0^2 - V_1^2}$ .

Первый из них соответствует положению корабля в периастре и, следовательно нам не нужен, а второй – соответствует апоастру. Численно получаем $R_2 \approx 35\,700$ км.

$$V_2 = V_1 R_0 / R_2 \approx 4.2 \text{ km/c.} \ \, \blacksquare$$

-\frac{5}{2}\lg 0.81 \approx 0.23