Нанесем на миллиметровую бумагу точку 1 — положение более массивной звезды. Поскольку позиционный угол отсчитывается от направления на север, направим полярную ось вверх. Тогда на рисунке восток окажется справа, то есть позиционный угол надо откладывать против часовой стрелки.

Отметив все 16 положений второй звезды, обнаруживаем, что ее траектория представляет окружность (рис. 1). Однако точка 1 располагается заметно в стороне от центра окружности . Если бы мы видели движение по круговой орбите, расположенной в картинной плоскости, то 1 находилась бы в центре окружности. Раз этого не происходит, остается сделать вывод, что действительная орбита эллиптическая, но она наклонена к картинной плоскости так, что проекция большой оси совпадает по величине с малой осью. Проекция фокуса орбиты 1 оказывается на отрезке, соединяющем точки 4 и 14, то есть этот отрезок — проекция большой оси орбиты.

Нарисуем орбиту и ее проекцию сбоку (рис. 2). При проецировании апоастр орбиты переходит в точку 14, периастр — в точку 4, фокус в точку 1. Поскольку отрезок 1 параллелен отрезку 4, отсекаемые ими отрезки на орбите и ее проекции будут пропорциональны. Проще всего на чертеже измерить расстояния между точками 1 и 4 и точками 4 и 14. Обозначим их соответственно как и . Тогда

$$\frac{x}{y} = \frac{r_p}{2a} = \frac{a(1-e)}{2a} = \frac{1-e}{2} \implies e = 1 - 2\frac{x}{y} \approx 0.65.$$

Рис. 1: Видимая орбита двойной звезды.

В точках 4 и 14 вторая звезда проходит периастр и апоастр своей орбиты. Время между этими событиями равно половине орбитального периода звезды. Наблюдения проводились почти точно с интервалом в 88 лет, поэтому искомый период равен P=176 лет.

Из рисунка 2 видно, что наклон плоскости орбиты к картинной плоскости i равен

$$i = \arccos \frac{b}{a} = \arccos \frac{a\sqrt{1 - e^2}}{a} = \arccos \sqrt{1 - e^2} \approx 40^\circ.$$

Зная параллакс двойной $\pi''$ , легко найти расстояние до нее:

$$D = \frac{1}{\pi''} \approx 7.5 \,\mathrm{nk}.$$

Тогда величина малой полуоси орбиты в линейной мере

$$b = \frac{\rho_4 + \rho_{14}}{2}D = \frac{1.5'' + 7''}{2} \cdot 7.5 \text{ пк} \approx 32 \text{ a. e.}$$

Рис. 2: Проекция орбиты.

Здесь $\rho_4$ и $\rho_{14}$ — расстояния до соответствующих точек из таблицы в условии. Величина большой полуоси равна

$$a = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2}} = \frac{32 \text{ a. e.}}{\sqrt{1 - 0.65^2}} \approx 42 \text{ a. e.}$$

Зная большую полуось и период обращения, можно определить сумму масс компонет с помощью третьего закона Кеплера:

$$\frac{M_1 + M_2}{M_{\odot}} = \frac{a^3}{1 \text{ a. e.}^3} \cdot \frac{1 \text{ год}^2}{P^2} \approx 2.39.$$

Тогда масса второго компонента равна $M_2 = 2.39 M_{\odot} - 1.5 M_{\odot} = 0.89 M_{\odot}$ .

$M_2 = 2.39 M_{\odot} - 1.5 M_{\odot} = 0.89 M_{\odot}$