ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2011ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_aa25cf1c4e243b6d ID p_04f034fd55cb4a22
Предложить исправление

Вам предложена фотография пролета Международной космической станции по диску Луны (автор – Эд Морана, США, 3 стр. обложки). Изображения МКС сделаны с интервалом 1/60 секунды друг после друга. Большой кратер, видимый на поверхности Луны – Тихо – имеет диаметр 85 км. Оцените размер Международной космической станции и ее высоту над поверхностью Земли. В момент съемки Луна проходила точку перигея орбиты и располагалась вблизи зенита в точке съемки.

Решение

Показать решение

Для начала определим масштаб снимка. На нем присутствует один объект с известным нам размером – лунный кратер Тихо. Как известно, он располагается не в центре лунного диска и наблюдается с Земли под некоторым углом к лучу зрения. Поэтому для определения масштаба нам необходимо взять его видимую большую ось. Ее угловой размер составит !

d = D L − R = 0.00024 d = \frac{D}{L - R} = 0.00024

или 50″. Здесь D – диаметр кратера Тихо, L – геоцентрическое расстояние до Луны в перигее, R – радиус Земли. Здесь было учтено, что Луна в пункте наблюдения располагается в зените. Обозначим через b угловое расстояние между двумя соседними положениями Международной космической станции на фотографии. Измеряя его, мы получаем

b = ( 8 / 7 ) ⋅ d = 0.00027 b = (8/7) \cdot d = 0.00027

или 57″. Отсюда мы можем получить видимую угловую скорость Международной космической станции:

ω = b t = 0.016 c − 1 . \omega = \frac{b}{t} = 0.016 \,\mathrm{c}^{-1}.

Здесь t – интервал времени между соседними изображениями МКС. По условию задачи, Луна и МКС в момент съемки находились вблизи зенита, а орбита станции круговая. Осевое вращение Земли и движение Луны мы не принимаем в расчет, так как их скорости (линейные и угловые) много меньше, чем у МКС. Тогда скорость станции v направлена перпендикулярно лучу зрения, и для видимой угловой скорости МКС справедливо соотношение

ω = v H = 1 H G M ( R + H ) ≈ G M R H 2 ⋅ ( 1 − H 2 R ) = G M R H 2 − G M 4 R 3 = G M R H 2 − ω 0 2 . \omega = \frac{v}{H} = \frac{1}{H} \sqrt{\frac{GM}{(R+H)}} \approx \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} \cdot (1 - \frac{H}{2R}) = \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} - \sqrt{\frac{GM}{4R^3}} = \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} - \frac{\omega_0}{2}.

Здесь M – масса Земли, а H – высота станции над поверхностью Земли (т.е. над наблюдателем), при этом учтено, что величина H значительно меньше радиуса Земли R. Величина ω0 есть геоцентрическая угловая скорость спутника с приземной круговой орбитой. Период для такой орбиты составляет 84 минуты, а величина ω0 равна 0.0012 с –1 , что существенно меньше величины ω. Отсюда мы получаем значение высоты:

H = G M R ⋅ 1 ω + ( ω 0 / 2 ) = v 1 ω + ( ω 0 / 2 ) . H = \sqrt{\frac{GM}{R}} \cdot \frac{1}{\omega + (\omega_0/2)} = \frac{v_1}{\omega + (\omega_0/2)}.

Здесь v1 – первая космическая скорость для поверхности Земли. Высота МКС получается равной 470 км. По фотографии можно оценить видимый размер космической станции:

s = 0.6 ⋅ d = 0.00014 s = 0.6 \cdot d = 0.00014

или 30″. Пространственный размер станции составляет

S = H ⋅ s = 65  M . S = H \cdot s = 65 \text{ M}.