ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

БЫСТРЫЙ ОБЛЕТ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2012ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_099c8c05801330ae ID p_06c3f5ae74f8c1a8
Предложить исправление
  • Вокруг какого из известных Вам больших тел Солнечной системы (размером более 1000 км) можно быстрее всего сделать один полный оборот без включенных двигателей? Осевое вращение больших тел не учитывать.

Решение

Показать решение
  • Из обобщенного III закона Кеплера получаем выражение для орбитального ! периода:
T = 4 π 2 a 3 G M . T = \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3}{GM}}.

Здесь M — масса объекта, вокруг которого обращается спутник, a — большая полуось его орбиты. Если сферическое центральное тело (Солнце, планета, спутник планеты или астероид) лишен атмосферы, то минимальный период будет достигнут, если орбита круговая, а величина a близка к радиусу тела:

T = 4 π 2 R 3 G M = 3 π G ρ . T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^3}{GM}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}.

Здесь ρ \rho — средняя плотность центрального тела. Отсюда мы сразу видим, что быстрее всего оборот можно сделать вокруг наиболее плотного тела. Однако, если это тело обладает атмосферой, то движение вблизи поверхности без включения двигателей невозможно — атмосфера затормозит движение, и аппарат сгорит в ней или упадет на поверхность. Минимальный радиус орбиты составит R+h, где h — характерная высота плотных слоев атмосферы. Тогда минимальный период будет равен

T = 4 π 2 ( R + h ) 3 G M = 3 π G ρ ⋅ ( R + h ) 3 R 3 . T = \sqrt{\frac{4\pi^{2}(R+h)^{3}}{GM}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho} \cdot \frac{(R+h)^{3}}{R^{3}}}.

Из справочных таблиц мы можем видеть, что два самых плотных больших тела Солнечной системы — это планеты Земля и Меркурий, за ними следует планета Венера. Плотность других тел, особенно на окраинах Солнечной системы, существенно ниже. Если бы у Земли не было атмосферы, то минимальный период ее облета был бы самым маленьким. Но атмосфера у Земли есть. Найдем высоту h E h_{\rm E} , на которой период оборота вокруг Земли сравнится с периодом оборота вокруг Меркурия, у которого атмосферы нет:

R E + h E R E = ( ρ E ρ M ) 1 / 3 . \frac{R_{\rm E} + h_{\rm E}}{R_{\rm E}} = \left(\frac{\rho_{\rm E}}{\rho_{\rm M}}\right)^{1/3}.

Здесь индекс "Е" относится к Земле, "М" — к Меркурию. В результате мы получаем значение h E h_{\rm E} , равное 40 км. Очевидно, что орбитальные полеты на такой высоте над Землей невозможны. Итак, быстрее всего по орбите можно облететь Меркурий.