Задача без названия

Астрономия ЗаключительныйКлассы неизвестны2011 Теоретическая Есть решение редакция rv_c9d3d5bd7e588f42 ID p_0a38d47ab328fe97

Предложить исправление

1 На фотографии, сделанной с искусственного спутника Земли (3 стр. обложки), вы видите полную Луну над краем Земли, помеченным красной линией. Оцените, на какой высоте над поверхностью Земли находится искусственной спутник в момент съемки. Принять величину атмосферной рефракции на поверхности Земли у горизонта равной 35′. Считать, что на всех высотах атмосфера имеет одинаковый химический состав и температуру 0°С. Поглощение и рассеяние света в атмосфере, а также эффекты облачности не учитывать.

Решение

Показать решение

■ Изображение Луны на фотографии искажено эффектом преломления света в атмосфере Земли. Этот эффект мы можем наблюдать и на Земле, особенно хорошо он заметен на восходе и заходе Солнца и Луны. Но картина, наблюдающаяся на данной фотографии, отличается от земных восходов и заходов Луны.

Мы видим, что верхняя половина лунного диска не искажена рефракцией — ее излучение прошло над плотными слоями атмосферы. В то же время нижний край Луны заметно приподнят над краем (лимбом) Земли.

Сравнив вид Луны с неискаженным кругом, мы можем определить величину углового смещения нижнего края Луны. По фотографии оно составляет около 1/9 от углового диаметра Луны, то есть 3.5'. Для дальнейшего удобства обозначим эту величину 2r. Это есть угол преломления луча от нижнего края Луны в атмосфере Земли. Нам необходимо вычислить, на какой наименьшей высоте (высоте перигея) в атмосфере прошел этот луч.

Если бы излучение прошло по касательной к поверхности Земли (например, в точке G на рисунке справа) и дальше вышло за пределы атмосферы, то угол его преломления составил бы $2r_0$ или 70' ( $r_0$ – величина приземной рефракции у горизонта). Множитель 2 появляется вследствие того, что луч не только входит в атмосферу, но и выходит из нее.

Предположим, что луч прошел точку перигея ${\bf P}$ на высоте h над поверхностью Земли. По условию задачи, атмосфера имеет постоянный химический состав и температуру T (273 K). Тогда концентрация молекул изменяется с высотой по закону Больцмана:

n(h') = n_0 e^{-\frac{\mu g h'}{\Re T}} = n_0 e^{-\frac{h'}{h_0}}.

Здесь $\mu$ — молярная масса атмосферного воздуха, g — ускорение свободного падения, $\Re$ — универсальная газовая постоянная. Величина $h_0$ (называемая высотой однородного столба атмосферы) равна 8.0 км. Концентрация частиц на нулевом уровне обозначена как $n_0$ . Если подняться на высоту h и принять данный слой атмосферы за нулевой уровень, то для вышележащих слоев будет выполняться та же формула, только с другой константой $n_0$ , умноженной на $\mathrm{e}^{-h/h_0}$ . Распространение

луча с высотой перигея h аналогично распространению луча, касающегося поверхности Земли при плотности атмосферы, умноженной на фактор $e^{-h/h_0}$ . Преломляющие свойства в атмосфере пропорциональны концентрации частиц. В итоге, угол поворота данного луча после выхода из атмосферы составит

2r\left(h\right) = 2r_0 e^{-\frac{h}{h_0}}.

Отсюда мы получаем высоту перигея луча, идущего от нижнего края Луны к искусственному спутнику Земли:

h = h_0 \ln \frac{r_0}{r}.

Учитывая определение величины r как половины угла преломления луча от нижнего края Луны, получаем значение высоты точки P: 24 км.

Изобразим геометрию распространения лучей от Луны и Земли к спутнику на рисунке. Пусть спутник располагается в точке $\mathbf{S}$ . Свет от краев Луны и Земли приходит в эту точку по полупрямым $\mathbf{s_L}$ и $\mathbf{s_E}$ . Угловое расстояние между лимбом Земли и искаженным краем диска Луны (угол между полупрямыми) обозначим как $\delta$ . Его также можно определить по фотографии, оно составляет 8.5'.

Как видно из рисунка, найденная выше высота точки $\mathbf{P}$ есть сумма величин $h_1$ и $h_2$ . Для первой из этих величин, видимой со спутника высоты точки $\mathbf{P}$ или длины отрезка $\mathbf{PQ}$ , справедливо соотношение

h_1 = L \cdot \delta,

где L — расстояние от спутника до лимба Земли. В этой формуле учтена малость угла $\delta$ и угла преломления лучей. Второе слагаемое — высота точки $\mathbf{Q}$ , $h_2$ , появляется вследствие того, что изображение лимба Земли также искажено атмосферной рефракцией — фактически мы видим на лимбе точку $\mathbf{G}$ . Покажем, что величина $h_2$ мала и фактически не влияет на ответ задания. Соединим центр Земли (точку $\mathbf{O}$ ) прямыми линиями с точками перигея двух лучей ( $\mathbf{G}$ и $\mathbf{P}$ , сплошные линии), а также проведем из точки $\mathbf{O}$ перпендикуляры на полупрямые $\mathbf{s_E}$ и $\mathbf{s_L}$ (пунктирные линии). Эти перпендикуляры пересекаются с полупрямыми в точках $\mathbf{G_1}$ и $\mathbf{P_1}$ . По свойству углов со взаимно-перпендикулярными сторонами угол $\mathbf{P_1OG_1}$ равен $\delta$ . Так как лучи симметричны относительно прямых $\mathbf{OP}$ и $\mathbf{OG}$ , то углы $\mathbf{POP_1}$ и $\mathbf{GOG_1}$ равны половинам соответствующих углов преломления, то есть равны r и $r_0$ . Из этого следует соотношение углов:

\gamma = POG = P_1OG_1 - P_1OP + G_1OG = \delta + r_0 - r = 42'.

Траектория луча от точки ${\bf Q}$ до точки ${\bf Q}$ – изогнутая линия, что несколько уменьшает высоту $h_2$ . Для того, чтобы оценить величину $h_2$ сверху, представим, что траектория луча — прямая линия. Тогда треугольник ${\bf QOG}$ — прямоугольный, в котором нам известен угол $\gamma$ . Верхний предел на высоту точки ${\bf Q}$ равен:

h_2 = \frac{R}{\cos \gamma} - R \approx \frac{R \, \gamma^2}{2}

или примерно 0.5 км. Здесь R — радиус Земли, а угол $\gamma$ берется в радианной мере. Мы видим, что высота $h_2$ существенно меньше высоты h, и далее мы можем пользоваться простым соотношением:

h = h_1 = L \cdot \delta.

Из этого мы получаем значение L:

L = \frac{h}{\delta} = \frac{h_0 \ln(r_0/r)}{\delta} \approx 10000 \,\mathrm{km},

и далее, значение высоты спутника над поверхностью Земли:

H = \sqrt{(R+h)^2 + L^2} - R = 5500 \text{ км.}

Подборка

Задача без названия

Решение