11.8 Еще одна точка зрения

Автор: А.В.Веселова

Астрономия Региональный 11 класс 2026 Есть решение редакция rv_cab201cee5a78fbe ID p_0debd06e5a5ceff6

Астероид движется в плоскости эклиптики по эллиптической орбите с большой полуосью a = 3 а. е. и эксцентриситетом e = 0.4.

A. Как для гелиоцентрического наблюдателя зависит мгновенное собственное движение астероида от расстояния до астероида?
B. В каких пределах для гелиоцентрического наблюдателя меняется собственное движение (выраженное в угловых секундах в секунду времени)?
C. Представим, что неподвижный относительно Солнца наблюдатель долгое время находится вблизи перигелия орбиты астероида. Какое собственное движение будет для него иметь астероид в тот момент, когда пройдет ровно четверть длины орбиты от перицентра?

Решение

Показать решение

Решение.

A. Собственное движение связано с компонентой скорости объекта, перпендикулярной лучу зрения. Эту компоненту мы можем определить из II закона Кеплера (на самом деле из закона сохранения момента импульса):

vr\sin\alpha = \sqrt{GM_{\odot}a(1-e^2)},

здесь v — скорость астероида на расстоянии r от Солнца, α — угол между радиусвектором ⃗r и вектором скорости ⃗v. При этом v sin α — это и есть перпендикулярная лучу зрения (для гелиоцентрического наблюдателя) компонента скорости v⊥.

Собственное движение показывает угловой сдвиг объекта на небе за единицу времени ∆t, тогда выражение для собственного движения примет вид

\mu \text{ [рад] = } \frac{v_{\perp}\Delta t}{r} = \frac{\sqrt{GM_{\odot}a(1-e^2)}\Delta t}{r^2}.

Итого, мгновенное собственное движение обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца до астероида.

B. Из полученной выше формулы следует, что граничные значения собственного движения достигаются в перигелии и афелии. Вычислим их.

\frac{\mu_{\pi}}{\Delta t} = \frac{v_{\pi}}{r_{\pi}} = \frac{\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a} \cdot \frac{1+e}{1-e}}}{a(1-e)} = 9.7 \cdot 10^{-8} \text{ рад/c} = 0''.02/c.

\frac{\mu_{\alpha}}{\Delta t} = \frac{v_{\alpha}}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a} \cdot \frac{1-e}{1+e}}}{a(1+e)} = 1.8 \cdot 10^{-8} \text{ рад/c} = 0''.004/c.

C. Астероид находится в четверти орбиты от перицентра, то есть в вершине малой оси. В этом случае касательная к эллипсу (и, следовательно, вектор скорости) направлен параллельно большой оси эллипса. Нужно найти скорость в этой точке и определить ее проекцию на перпендикуляр к лучу зрения наблюдателя.

Расстояние от фокуса до вершины малой оси равно в точности большой полуоси эллипса. Полную скорость определим из интеграла энергий:

v = \sqrt{GM_{\odot}\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a}} = 1.7 \cdot 10^4 \text{ m/c}.

Рис. 1: К решению задачи 8.

Можно сразу использовать готовый факт о совпадении скорости в вершине малой оси со скоростью на круговой орбите радиуса a.

Величина малой полуоси связана с большой полуосью и эксцентриситетом формулой b = a √ 1 − e 2 , тогда расстояние от перицентра до вершины малой полуоси составит

s = \sqrt{a^2 + b^2} = a\sqrt{2 - e^2} = 6.1 \cdot 10^{11} \text{ M}.

Угол между радиус-вектором ⃗r и вектором скорости ⃗v оценим из закона сохранения момента импульса:

\sin \alpha = \frac{\sqrt{GM_{\odot}a(1-e^2)}}{vr} = \frac{\sqrt{GM_{\odot}a(1-e^2)}}{\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a} \cdot a}} = \sqrt{1-e^2}, \quad \alpha \approx 66^{\circ}.

Угол между лучом зрения наблюдателя равен θ = α − β, где угол β определяется из треугольника «Солнце — наблюдатель — астероид»:

\cos\beta = \frac{r^2 + s^2 - r_\pi^2}{2rs} = \frac{a^2 + a^2(2 - e^2) - a^2(1 - e)^2}{2a^2\sqrt{2 - e^2}} = \frac{1 + e - e^2}{\sqrt{2 - e^2}}, \quad \beta \approx 24^\circ.

Рассчитываем угол θ: θ = 66◦ − 24◦ = 42◦ . Тогда мгновенное собственное движение астероида для наблюдателя составит

\mu = \frac{v \sin \theta}{s} \approx 4 \cdot 10^{-3''}/c.

Критерии

Показать критерии

Критерии оценивания.

К1.	Пункт A	6
	Указание на связь собственного движения с компонентой скорости,
	2 перпендикулярной лучу зрения (формульное или словесное)
	Физически верная модель связи собственного движения с параметрами орбиты
	3 и Солнца, в том числе через II закон Кеплера или интеграл площадей
	1/r2 ∝ µ 1 Получение итогового верного соотношения
К2.	Пункт B	4
	Явное или формульное указание на точки орбиты, в которых достигаются
	2 граничные значения собственного движения
	Вычисление верных итоговых значений в указанных в условии единицах
	1+1 измерения
К3.	C Пункт	6
	Указание на то, что объект находится в вершине малой оси (графическое или
	1 словесное)
	Верная обоснованная оценка расстояния до наблюдателя (в а.е. или иных
	2 осмысленных единицах, или же верная формульная запись)
	Верный расчет угловых характеристик, необходимых для проецирования
	2 скорости на картинную плоскость
	Верная итоговая оценка собственного движения (с учетом погрешностей
	3.5 4.5 засчитываются ответы в интервале от до миллисекунд дуги в год
	1 при верном ходе решения)
	Максимальная оценка:	16

Подборка

11.8 Еще одна точка зрения

Решение

Решение.

Критерии

Критерии оценивания.