ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЗВЕЗДНЫЙ КВАДРАТ

Автор: А.Н. Акиньщиков

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2012ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_886b6ca7e2245ab5 ID p_0e56e1b8c406acb5
Предложить исправление

2 Звездная система состоит из 4 звезд одинаковой массы M, расположенных в вершинах квадрата со стороной a и движущихся по общей окружности относительно общего центра масс. Найдите скорости звезд относительно центра масс и период обращения этой системы.

Решение

Показать решение

■ Изобразим конфигурацию из четырех звезд в вершинах квадрата со стороной а.

На каждую из звезд действуют взаимно-перпендикулярные и равные по модулю силы притяжения от двух соседних звезд:

F = G M 2 a 2 . F = \frac{GM^2}{a^2}.

На звезду действует также сила притяжения со стороны противоположной звезды. Расстояние до нее равно a 2 a\sqrt{2} , а сила равна:

f = G M 2 2 a 2 . f = \frac{GM^2}{2a^2}.

Равнодействующая всех трех сил будет направлена к центру масс и составит:

F S = 2 F 2 + f = G M 2 a 2 ( 2 + 1 2 ) . F_{\rm S} = \frac{2F}{\sqrt{2}} + f = \frac{GM^2}{a^2} \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right).

По условию задачи, звезды движутся по окружности. Центр этой окружности находится в центре квадрата, а радиус равен a / 2 a/\sqrt{2} . Из соотношения углового ускорения и радиуса траектории получаем значение скорости:

v = F S M ⋅ a 2 = G M a ( 1 + 1 2 2 ) . v = \sqrt{\frac{F_{\rm S}}{M} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{GM}{a} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}.

Период обращения составляет:

T = 2 π ( a / 2 ) v = 2 π a 3 / 2 G M ( 2 + 1 2 ) = 2 π a 3 / 2 4 − 2 7 G M . T = \frac{2\pi(a/\sqrt{2})}{v} = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}} = \frac{2\pi a^{3/2}\sqrt{4 - \sqrt{2}}}{\sqrt{7GM}}.