ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

АЛЮМИНИЕВЫЙ ПАРУС

Автор: А.Н. Акиньщиков

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2012ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_e4837cd631903e02 ID p_116682fb8fa8cf2a
Предложить исправление

Идеально отражающий плоский алюминиевый солнечный парус обращается вокруг Солнца по круговой орбите с радиусом 1 а.е. и периодом 1.5 года. Парус всегда расположен перпендикулярно направлению на Солнце. Найдите толщину паруса. Плотность алюминия составляет 2.7 г/см3 . Взаимодействие паруса и планет не учитывать.

Решение

Показать решение

Обозначим плотность паруса ρ, его толщину – d, а его площадь – S. На парус будут действовать две силы – притяжение Солнца и световое давление. Они направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сила притяжения, направленная к Солнцу, составляет !

F G = G M S d ρ R 2 . F_{\rm G} = \frac{GMSd\rho}{R^2}.

Здесь M – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до паруса. Сила светового давления в случае идеального отражения равна удвоенному импульсу солнечных фотонов, попадающих в парус в единицу времени. Импульс каждого фотона p равен E/c, где E – его энергия, а c – скорость света. Отсюда получаем величину силы светового давления:

F E = L S 2 π c R 2 . F_{\rm E} = \frac{LS}{2\pi cR^2}.

Здесь L – светимость Солнца. Под действием этих двух сил парус движется со скоростью v по окружности радиуса R:

S d ρ v 2 R = G M S d ρ R 2 − L S 2 π c R 2 . Sd\rho \frac{v^2}{R} = \frac{GMSd\rho}{R^2} - \frac{LS}{2\pi cR^2}.

Отсюда получаем выражение для скорости:

v 2 = G M R − L 2 π c d ρ R = v 0 2 − L 2 π c d ρ R v^{2} = \frac{GM}{R} - \frac{L}{2\pi c d\rho R} = v_{0}^{2} - \frac{L}{2\pi c d\rho R}

Здесь v0 – круговая скорость движения под действием только силы тяготения (орбитальная скорость Земли). Толщина паруса равна

d = L 2 π c ρ R ( v 0 2 − v 2 ) = L v 0 2 2 π G M c ρ ( v 0 2 − v 2 ) . d = \frac{L}{2\pi c \rho R(v_0^2 - v^2)} = \frac{Lv_0^2}{2\pi GMc\rho(v_0^2 - v^2)}.

Выражая скорости через орбитальные периоды, получаем:

d = L T 2 T 0 2 8 π 3 c ρ R 3 ( T 2 − T 0 2 ) = L T 2 2 π G M c ρ ( T 2 − T 0 2 ) . d = \frac{LT^2T_0^2}{8\pi^3c\rho R^3(T^2 - T_0^2)} = \frac{LT^2}{2\pi GMc\rho(T^2 - T_0^2)}.

Здесь T – период обращения паруса, T0 – период обращения Земли вокруг Солнца. Толщина паруса составляет 1 микрону.