ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2009ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_9b9469f70f68ca36 ID p_1825f0891c550fa1
Предложить исправление

  • 3

  • ? Какая из внутренних планет большую часть времени является ближайшей к Земле? Считать орбиты планет круговыми, лежащими в одной плоскости.

Решение

Показать решение
  • Перед тем, как произвести точное решение, приведем некоторые предварительные рассуждения, которые могут достаточно легко привести к правильному ответу, но без строгого доказательства.

Изобразим на рисунке внутреннюю часть Солнечной системы с орбитами первых трех планет. Для удобства перейдем в систему отсчета, вращающуюся вокруг Солнца вместе с Землей, так что сама Земля в ней оказывается неподвижной.

Проведем через центр Солнца линию, перпендикулярную направлению на Землю. Она разделит все орбиты на две половины - более удаленную и менее удаленную от Земли. Назовем расстояние до планеты, когда она находится на этой линии, медианным. Очевидно, что для каждой планеты это расстояние ровно половину времени будет больше медианного, a половину времени - меньше медианного. Само медианное расстояние легко вычислить из теоремы Пифагора, учитывая, что по условию задачи все орбиты круговые.

Медианное расстояние Меркурия меньше медианного расстояния Венеры. Большую часть времени Меркурий оказывается ближе медианного положения Венеры, а значит, с вероятностью более 50% в это время он будет ближе к Земле, чем Венера. Это дает основания предположить, что именно Меркурий чаще всего оказывается самой близкой к Земле планетой. Теперь перейдем к более строгому доказательству этого факта.

Минимальное и максимальное расстояние от i-й внутренней планеты до Земли будет составлять

R i , min = R 0 − a i , R i , max = R 0 + a i , R_{i,\min} = R_0 - a_i, \quad R_{i,\max} = R_0 + a_i,

где R 0 R_0 — радиус земной орбиты, a i a_i — радиус орбиты планеты. Расстояние от Земли до i-й планеты R i R_i выражается по теореме косинусов:

R i 2 = R 0 2 + a i 2 − 2 R 0 a i cos φ = A i − B i cos φ , R_i^2 = R_0^2 + a_i^2 - 2R_0 a_i \cos \varphi = A_i - B_i \cos \varphi,

здесь φ \varphi — разность гелиоцентрических долгот Земли и планеты. Как видно из формулы, вместо расстояния до планет удобнее оперировать с их квадратами. Рассмотрим различные интервалы возможных значений величины R 2 R^2 . На расстоянии R 2 R^2 <0.08 планет быть не может. В интервале 0.08 < R 2 < 0.37 0.08 < R^2 < 0.37 может быть только Венера, эта зона помечена на рисунке номером 1. В интервале 0.37 < R 2 < 1.93 0.37 < R^2 < 1.93 могут быть обе планеты (зона 2). В интервале 1.93 < R 2 < 2.96 1.93 < R^2 < 2.96 также может быть только Венера (зона 3), еще большие значения R 2 R^2 внутренними планетами не достигаются.

Рассмотрим, какую часть времени планета Венера проводит в каждом из трех интервалов. Чтобы Венера оказалась в зоне 1 и была гарантированно ближе Меркурия, разница гелиоцентрических долгот Венеры и Земли по модулю должна быть не больше

ϕ 1 = arccos R 0 2 + a 2 2 − R 1 , min 2 2 R 0 a 2 = arccos a 2 2 − a 1 2 + 2 R 0 a 1 2 R 0 a 2 = 37.5 ∘ . \phi_1 = \arccos \frac{R_0^2 + a_2^2 - R_{1,\text{min}}^2}{2R_0 a_2} = \arccos \frac{a_2^2 - a_1^2 + 2R_0 a_1}{2R_0 a_2} = 37.5^{\circ}.

Зона 1 охватывает две таких дуги на орбите Венеры. Деля последнюю величину на 180°, получаем, что Венера проводит в первой зоне 21% времени. Чтобы Венера оказалась в зоне 3 и была гарантированно дальше Меркурия, разница долгот по модулю должна быть не меньше

ϕ 3 = arccos R 0 2 + a 2 2 − R 1 , max 2 2 R 0 a 2 = arccos a 2 2 − a 1 2 − 2 R 0 a 1 2 R 0 a 2 = 106.1 ∘ . \phi_3 = \arccos \frac{R_0^2 + a_2^2 - R_{1,\text{max}}^2}{2R_0 a_2} = \arccos \frac{a_2^2 - a_1^2 - 2R_0 a_1}{2R_0 a_2} = 106.1^{\circ}.

Зона 3 вырезает на орбите Венеры 2 симметричные дуги длиной 73.9° каждая, и Венера находится там 41% времени. Оставшиеся 38% времени Венера располагается в зоне 2, в которой всегда находится и Меркурий.

Для решения задачи мы вполне можем предполагать, что из 38% времени, которые Венера располагается в зоне 2, она с равной вероятностью будет ближе или дальше Меркурия. Тогда мы получаем, что Венера находится ближе Меркурия 21% времени, соответствующие зоне 1, а также 19% времени, соответствующие зоне 2. Суммируя эти величины, мы получаем, что лишь 40% времени Венера оказывается ближайшей к Земле внутренней планетой. В оставшихся 60% случаев это будет Меркурий, его и нужно указать в качестве ответа на задачу.

Докажем последнее утверждение еще более строго. Медианное расстояние Меркурия составляет 1.072 а.е, его квадрат R l m 2 R_{\rm lm}^2 равен 1.15. Квадрат расстояния до Меркурия половину времени оказывается больше и половину времени — меньше этого значения. Разделим зону 2 на две части, назовем их ближней и дальней. Граница между ними соответствует модулю разницы гелиоцентрических долгот Венеры и Земли

ϕ m = arccos R 0 2 + a 2 2 − R 1 m 2 2 R 0 a 2 = 75.1 ∘ . \phi_m = \arccos \frac{R_0^2 + a_2^2 - R_{1m}^2}{2R_0 a_2} = 75.1^{\circ}.

Венера проводит в ближней части зоны 2 (угол φ от 37.5° до 75.1°) 21% времени, а в ее дальней части — 17% времени. В первом случае Венера либо однозначно ближе Меркурия (если последний находится позади медианной линии), либо ближе его с вероятностью около 0.5 (если Меркурий ближе медианной линии). Будем считать, что, находясь в ближней части зоны 2, Венера будет ближе Меркурия с вероятностью 0.75. Соответственно, в ее дальней части вероятность составит 0.25. Тогда общая вероятность для Венеры быть ближе к Земле, чем Меркурий, составит

0.21 + ( 0.21 ⋅ 0.75 ) + ( 0.17 ⋅ 0.25 ) = 0.41 , 0.21 + (0.21 \cdot 0.75) + (0.17 \cdot 0.25) = 0.41,

что несильно отличается от предшествующей приближенной оценки и меньше, чем соответствующая вероятность для Меркурия. Итак, Меркурий чаще оказывается ближайшей к Земле внутренней планетой (а также ближайшей планетой вообще), нежели Венера.