ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный11 класс2012Есть решение редакция rv_11d84019f3707f36 ID p_1eac09e0148d1dd0
Предложить исправление

Будущие жители Земли решили заменить Луну таким же по диаметру вогнутым сферическим зеркалом с фокусным расстоянием, равным радиусу орбиты Луны. Какой будет звездная величина такой «Луны» при наблюдении с района Земли, на который сфокусировано изображение Солнца? Марса (в среднем противостоянии)? Считать, что ось зеркала образует малый угол с направлениями на источник света и Землю, аберрациями оптики пренебречь.

Решение

Показать решение

Пусть на зеркало радиусом R падает поток F от некоторого источника. Так как направление на источник образует малый угол с осью зеркала, количество энергии, отражаемое зеркалом в единицу времени, составит

E = π R 2 F . E = \pi R^2 F.

Эта энергия направляется в сторону Земли, и в фокальной плоскости будет попадать в пятно радиусом

r = D ρ , r = D \rho,

где D – расстояние между Землей и Луной, а ρ \rho – видимый радиус источника света. Поток световой энергии в данном пятне на Земле составит

f = E / π r 2 = F ρ L 2 / ρ 2. f = E / \pi r^2 = F \rho_L^2 / \rho^2.

Здесь ρ L = R / D \rho_L = R/D — видимый радиус Луны. Видимая звездная величина зеркала m будет связана со звездной величиной источника m 0 m_0 как

m = m 0 − 2.5 lg ( f / F ) = m 0 + 5 lg ( ρ / ρ I ) . m = m_0 - 2.5 \lg (f/F) = m_0 + 5 \lg (\rho / \rho_I).

Видимый диаметр Солнца на небе Земли практически совпадает с видимым диаметром Луны. Поэтому зеркало, направленное на Солнце, будет светить так же, как и само Солнце, его звездная величина составит − 26.8 m -26.8^{\rm m} . А вот отражение света Марса будет значительно ярче самой планеты. В среднем противостоянии блеск Марса составляет − 2.0 m -2.0^{\rm m} , расстояние до него -0.52 а.е., видимый радиус Марса равен 9", в 100 раз меньше видимого радиуса Луны. Зеркало будет иметь звездную величину − 12 m -12^{\rm m} , то есть будет светить примерно как полная Луна, на место которой оно было установлено.