ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2011ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_8ee3f98f69e305f4 ID p_1ee43ff979ea4b8a
Предложить исправление

2 В канун дня первого полета человека в космос, 11 апреля 1961 года в 03ч30м по Московскому времени планета Венера оказалась в нижнем соединении с Солнцем. В некоторой точке поверхности нашей планеты в этот момент Солнце было видно на горизонте, а Венера располагалась точно над Солнцем. На какой высоте над горизонтом ее можно было увидеть в этот момент? Найдите расстояние (по поверхности Земли) между этой точкой Земли и космодромом Байконур. Координаты космодрома: 45°58′ с.ш., 63°18′ в.д. Гелиоцентрическая эклиптическая широта Венеры была равна +2°48′. Орбиты Венеры и Земли считать круговыми. Рефракцией, угловыми размерами Солнца и уравнением времени пренебречь. Летнее время на территории СССР в 1961 году не вводилось.

Решение

Показать решение

В момент нижнего соединения Венеры гелиоцентрические долготы Венеры и Земли совпадают. Изобразим положение Солнца, Венеры и Земли в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты Земли (плоскости эклиптики).

Обозначим радиусы орбит Венеры и Земли через r и R соответственно, а гелиоцентрическую эклиптическую широту Венеры — через β \beta . Этот угол невелик, поэтому мы можем достаточно просто вычислить угловое расстояние γ \gamma между Солнцем и Венерой при наблюдении с Земли:

sin γ = r R − r sin β . \sin \gamma = \frac{r}{R - r} \sin \beta.

Угол γ \gamma получается равным 7.3°. При наблюдении из точки поверхности Земли, описанной в условии задачи, Солнце находилось на горизонте, а Венера – в точности над Солнцем. Следовательно, высота Венеры над горизонтом была равна 7.3°. Этого вполне достаточно, чтобы увидеть Венеру невооруженным глазом

даже в день ее нижнего соединения. Линия Солнце-Венера на небе перпендикулярна линии эклиптики и горизонту, а Солнце находится на эклиптике и одновременно на горизонте. Из этого можно сделать вывод, что эклиптика в этот момент в данной точке Земли совпадает с горизонтом.

В зените должен находиться один из полюсов эклиптики. Очевидно, что это северный полюс эклиптики, так как Венера располагается к северу от Солнца и видна над ним на небе. Склонение северного полюса эклиптики равно +66.6° и совпадает с широтой места наблюдения ϕ. Итак, описанная в условии картина наблюдалась на Северном полярном круге.

Прямое восхождение Северного полюса эклиптики составляет 18 часов, такое же значение принимает звездное время в пункте наблюдения S. В день весеннего равноденствия (21 марта) звездное время отличается от местного на 12 часов (небольшой поправкой на уравнение времени мы пренебрегаем). Совпадение эклиптики с горизонтом на Северном полярном круге произошло в этот день 6 часов утра по местному времени и далее повторялось через каждые звездные сутки (23ч56м04с ).

11 апреля отстоит от 21 марта на 21 день. Умножив продолжительность звездных суток на 21, мы получаем 20 дней 22 часа и 37 минут. Следовательно, для даты 11 апреля момент 18 часов по звездному времени S придется на 4 часа 37 минут утра по местному времени T, и в указанной точке Северного полярного круга Солнце будет восходить над горизонтом.

Так как летнее время в 1961 году не вводилось, Московское время отличалось от Всемирного на 3 часа, и Всемирное время UT составляло 0ч30м. Вычитая Всемирное время из местного, мы получаем долготу места наблюдения:

λ = T − U T = 4 4 07 M \lambda = T - UT = 4^{4}07^{M}

или 61°45′ восточной долготы. Мы видим, что долготы данного пункта и Байконура отличаются всего на 1.5°, а широты – значительно больше. Поэтому мы можем считать, что оба пункта находятся на одном меридиане и определить расстояние между ними по разности широт:

L = 2 π R 0 ⋅ | ϕ − ϕ 0 | 360 ∘ = 2300  км. L = 2\pi R_0 \cdot \frac{|\phi - \phi_0|}{360^\circ} = 2300 \text{ км.}

Здесь R0 – радиус Земли, ϕ0 – широта Байконура.