ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.6 Сливающиеся белые карлики

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия9 класс2025ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_83c9fb4c7073da90 ID p_23c56445516de329
Предложить исправление

Ученые обнаружили компактную двойную систему, состоящую из двух полностью одинаковых белых карликов, движущихся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Наблюдения показали, что расстояние до двойной r = 59 n k r=59\,\mathrm{nk} , а ее звездная величина m = 13 m m=13^\mathrm{m} . Плоскость орбиты системы наклонена на i = 85 ∘ i=85^\circ к картинной плоскости. Температуры фотосфер звезд равны T = 15 000 K T=15\,000\,\mathrm{K} , ускорения свободного падения на поверхности g = 0.96 ⋅ 10 6 m / c 2 g=0.96\cdot10^6\,\mathrm{m/c^2} . Орбитальный период двойной системы медленно уменьшается за счет излучения гравитационных волн. При каком значении орбитального периода эта двойная начнет наблюдаться как затменно-переменная система?

Болометрическими поправками и межзвездным поглощением пренебречь.

Решение

Показать решение

Решение. Третий закон Кеплера связывает орбитальный период P двойной с расстоянием между звездами a и массами компонент 𝔐 \mathfrak{M} :

P = [ 4 π 2 a 3 G ( 𝔐 + 𝔐 ) ] 1 2 , P = \left[4\pi^2 \frac{a^3}{G(\mathfrak{M} + \mathfrak{M})}\right]^{\frac{1}{2}},

где G — гравитационная постоянная. С помощью рисунка определим, что затмения возможны, если a не больше

a = 2 R cos i . a = \frac{2R}{\cos i}.

Таким образом, для ответа на поставленный вопрос нам нужно определить массы и радиусы белых карликов. В целом, эти значения для белых карликов не слишком сильно разнятся, поэтому оценить искомое значение несложно. Масса типичного белого карлика примерно равна массе Солнца 𝔐 ⊙ \mathfrak{M}_{\odot} , а радиус около 10000 км. Подставив эти значения, получим период 22 минуты.

Теперь решим задачу более точно. Ускорение свободного падения на поверхности белого карлика равно g = G 𝔐 / R 2 g = G\mathfrak{M}/R^2 . Тогда

𝔐 = g R 2 G . \mathfrak{M} = \frac{gR^2}{G}.

Радиус белого карлика можем найти из закона Стефана — Больцмана. Отношение светимостей белого карлика и Солнца можно записать в виде

L L ⊙ = ( R R ⊙ ) 2 ( T T ⊙ ) 4. \frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^2 \left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^4.

Здесь величины, относящиеся к Солнцу, отмечены индексами ⊙ \odot . Эта же величина может быть выражена с помощью абсолютных звездных величин белого карлика M и Солнца M ⊙ M_{\odot} :

L L ⊙ = 10 − 0.4 ( M − M ⊙ ) . \frac{L}{L_{\odot}} = 10^{-0.4(M-M_{\odot})}.

Величина M ⊙ M_{\odot} дана в справочных данных, а M можно найти, поскольку нам дана звездная величина двойной и расстояние до нее. Принимая во внимание, что вклад в блеск двойной вносят оба белых карлика, получим

M = m + 2.5 lg 2 + 5 − 5 lg r = 13 + 2.5 lg 2 + 5 − 5 lg 59 = 9.9 m M = m + 2.5 \lg 2 + 5 - 5 \lg r = 13 + 2.5 \lg 2 + 5 - 5 \lg 59 = 9.9^{\text{m}}

Теперь мы можем рассчитать радиус белого карлика

R = R ⊙ ( T ⊙ T ) 2 10 − 0.2 ( M − M ⊙ ) = 695 000 ( 5800 15000 ) 2 10 − 0.2 ( 9.9 − 4.7 ) ≈ 9500 k m R = R_{\odot} \left(\frac{T_{\odot}}{T}\right)^2 10^{-0.2(M-M_{\odot})} = 695\,000 \left(\frac{5800}{15000}\right)^2 10^{-0.2(9.9-4.7)} \approx 9500 \,\mathrm{km}

и его массу

𝔐 = g R 2 G = 0.96 ⋅ 10 6 ( 9.5 ⋅ 10 6 ) 2 6.67 × 10 − 11 ≈ 1.3 × 10 30 k g ≈ 0.65 M ⊙ \mathfrak{M} = \frac{gR^2}{G} = \frac{0.96 \cdot 10^6 (9.5 \cdot 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 1.3 \times 10^{30} \,\mathrm{kg} \approx 0.65 M_{\odot}

Мы видим, что радиусы этих белых карликов довольно типичные, а массы несколько меньше принятого нами в начале решения значения. Искомый период получается равным

P = [ 4 π 2 a 3 G ⋅ 2 𝔐 ] 1 2 = [ 16 π 2 R g ⋅ cos 3 i ] 1 2 = [ 16 π 2 9.5 × 10 6 0.96 × 10 6 ⋅ cos 3 85 ∘ ] 1 2 ≈ 26  мин. P = \left[4\pi^2 \frac{a^3}{G \cdot 2\mathfrak{M}}\right]^{\frac{1}{2}} = \left[16\pi^2 \frac{R}{g \cdot \cos^3 i}\right]^{\frac{1}{2}} = \left[16\pi^2 \frac{9.5 \times 10^6}{0.96 \times 10^6 \cdot \cos^3 85^\circ}\right]^{\frac{1}{2}} \approx 26 \text{ мин.}

Критерии

Показать критерии

15 Критерии оценивания. K 1 . {\rm K1.} Зависимость периода двойной от массы звезд и большой полуоси … 2 \ldots 2 Если учтена масса только одной звезды, этот этап не оценивается, но остальные оцениваются в полной мере. Если в качестве большой полуоси используется половина расстояния между звездами, этот этап не оценивается, но остальные оцениваются в полной мере. 𝐊 𝟐 . \mathbf{K2.} Критерий для максимального размера a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝐊 𝟑 . {\bf K3.} Связь массы и радиуса белого карлика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Если эта величина используется как известная, то этот этап не оценивается, а остальные оцениваются в полном объеме. 𝐊 𝟒 . {\bf K4.} Определение радиуса белого карлика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Если эта величина используется как известная, то этот этап не оценивается, а остальные оцениваются в полном объеме. Применение закона Стефана — Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . Применение формулы Погсона для освещенностей.................................... Связь видимой и абсолютной звездных величин................................... Учтено, что видимая звездная величина относится к двум звездам .................................... Вывод формулы и вычисление значения радиуса .................................... 𝐊 𝟓 . {\bf K5.} Получение итогового ответа...................................