ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный9 класс2018Есть решение редакция rv_8354bb0a865a4c4c ID p_27323d554afb46ed
Предложить исправление

Спутник обращается вокруг сферической планеты по эллиптической орбите. В перицентре спутник имеет высоту над поверхностью планеты 800 км и орбитальную скорость 12.3 км/c, в апоцентре -2300 км и 11.1 км/c. Определите среднюю плотность планеты ( A . H . A к и н ь щ и к о в ) (A.H. \, Aкиньщиков) .

Решение

Показать решение

Запишем выражения для скорости тела в перицентре и апоцентре орбиты:

v P = G M a 1 + e 1 − e ; v A = G M a 1 − e 1 + e . v_P = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1+e}{1-e}}; \quad v_A = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1-e}{1+e}}.

Здесь M — масса планеты, a — большая полуось орбиты, e — ее эксцентриситет. Разделив одно выражение на другое, имеем:

v P v A ≡ K = 1.108 = 1 + e 1 − e . \frac{v_P}{v_A} \equiv K = 1.108 = \frac{1+e}{1-e}.

Отсюла

e = K − 1 K + 1 = v P − v A v P + v A = 0.051. e = \frac{K-1}{K+1} = \frac{v_P - v_A}{v_P + v_A} = 0.051.

Для высот спутника в перицентре и апоцентре можно записать:

h P = a ( 1 − e ) − R ; h A = a ( 1 + e ) − R . h_{\rm P} = a (1 - e) - R; \quad h_{\rm A} = a (1 + e) - R.

3десь R – радиус планеты. Вычитая из второго уравнения первое, имеем:

h A − h P = 2 a e ; a = h A − h P 2 e = 14700  KM . h_A - h_P = 2ae; \quad a = \frac{h_A - h_P}{2e} = 14700 \text{ KM}.

Теперь мы можем найти радиус планеты:

R = a ( 1 − e ) − h P = 13150  km R = a (1 - e) - h_P = 13150 \text{ km}

или 2.06 радиуса Земли. Масса планеты равна:

M = v P 2 a G ⋅ 1 − e 1 + e = 3.0 ⋅ 10 25  Kg M = \frac{v_P^2 a}{G} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 3.0 \cdot 10^{25} \text{ Kg}

или 5 масс Земли. Наконец, плотность планеты составляет

ρ = 3 M 4 π R 3 = 3200  Ke/M 3 \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} = 3200 \text{ Ke/M}^3

или 0.57 от плотности Земли.

3. Система оценивания. Решение задачи можно производить разными способами. При решении способом, описанным выше, последовательно находятся эксцентриситет орбиты (2 балла), большая полуось орбиты (1 балл), радиус планеты (2 балла), масса планеты (2 балла) и, наконец, плотность планеты (1 балл). При решении другим способом необходимо также разбить его на соответствующие этапы, оценивая каждый из них, исходя из его сложности.

При допущении ошибки на одном из этапов решения баллы за этот этап не выставляются, а последующие оцениваются только в том случае, если сделанная ошибка не приводит к заведомо абсурдным характеристикам планеты.