Задача 10.4

АстрономияКлассы неизвестны2021 Теоретическая Есть решение редакция rv_30c3f97d30fdbe6c ID p_291d06ed5b9c73fe

Планета обращается по эллиптической орбите с большой полуосью $a_1$ и эксцентриситетом e вокруг звезды — красного гиганта. В один момент звезда быстро сбрасывает оболочку, уносящую ровно половину массы гиганта. Тем не менее, эксцентриситет орбиты планеты остался без изменений. Считая процесс сброса оболочки и ее ухода из системы мгновенным, определите расстояние от планеты до звезды r в этот момент и новую большую полуось орбиты $a_2$ . Обе величины выразить как функции эксцентриситета e. При каких эксцентриситетах орбиты такое вообще возможно? Взаимодействие оболочки с планетой с момента сброса не учитывать, планета несравнимо меньше звезды по массе.

Решение

Показать решение

Хорошо известно, что при мгновенной потере половины массы центральным телом его спутник с круговой орбиты перейдет на параболическую и покинет систему, связанную с центральным телом. Однако, если орбита эллиптическая, а спутник в этот момент находится на расстоянии больше среднего, то он останется в системе. В задаче необходимо рассмотреть условие, при котором эксцентриситеты старой и новой орбит одинаковы и равны e.

Сброс оболочки звезды произошел, когда планета располагалась на расстоянии r от нее. Момент импульса единицы массы планеты (или удвоенная площадь заштрихованного треугольника, который описывает радиус-вектор планеты за единичное время) есть

L = v \cdot r \cdot \sin\alpha,\tag{1}

где $\alpha$ — угол между радиус-вектором и скоростью планеты. В соответствии со II законом Кеплера (или с законом сохранения момента импульса) эта величина не меняется в ходе движения планеты. Мы можем определить ее для перицентра, когда значения скорости и радиуса нам известны, а угол между их векторами прямой:

L = \sqrt{\frac{GM}{a} \cdot \frac{1+e}{1-e}} \cdot a \cdot (1-e) = \sqrt{GMa \cdot (1-e^2)}. \tag{2}

Опуская размерный множитель GM, мы получаем квадратный корень из площади эллипса. В момент сброса оболочки характеристики движения планеты $(v, r, \sin \alpha)$ и величина L не

изменяется. Если по условию задачи не меняется и эксцентриситет — это означает, что произведение Ma тоже постоянно. Коль скоро масса звезды уменьшилась вдвое ( $M_2$ = $M_1$ /2), мы получаем

a_2 = 2a_1. \tag{3}

Большая полуось орбиты планеты должна удвоиться. Теперь, из закона сохранения энергии мы можем получить известную формулу для скорости движения планеты на расстоянии r:

v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right). \tag{4}

Коль скоро $M_2 = M_1/2$ , мы имеем:

\frac{2}{r} - \frac{1}{a_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a_2} \right) = \frac{1}{r} - \frac{1}{2a_2} = \frac{1}{r} - \frac{1}{4a_1}. \tag{5}

В итоге получаем:

\frac{1}{r} = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{4a_1}; \quad r = \frac{4a_1}{3} = \frac{2a_2}{3}. \tag{6}

Интересно, что итоговые соотношения (3) и (6) вообще не зависят от эксцентриситета e, предполагая только его постоянство в момент сброса оболочки. Тем не менее, описанная картина может иметь место не при любых эксцентриситетах. Для того, чтобы планета достигла расстояния $4a_1/3$ на своей первоначальной орбите, должно выполняться условие:

1/3 \le e < 1. \tag{7}

Естественно, эксцентриситет меньше единицы, так как по условию орбита эллиптическая. В граничном случае (e=1/3) сброс оболочки должен застать планету в апоцентре, который далее станет перицентром новой орбиты. При больших эксцентриситетах большая ось новой орбиты повернется по отношению к большой оси старой орбиты, причем при эксцентриситете около 0.45 угол поворота составит 90° (см. модельные рисунки).

Система оценивания, максимум -10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

$\frac{1}{2}$ этап — $\frac{3}{2}$ балла: вывод о соотношении новой и старой большой полуоси. Оптимальный, но не единственный способ — прямой анализ закона сохранения момента импульса или второй закон Кеплера. Этап оценивается полностью, если используемая методика универсальна и не зависит от эксцентриситета. Если участник ограничивается случаем апоцентра первоначальной орбиты (e=1/3) без корректного распространения на другие случаи, этап в случае правильного ответа оценивается в 1 балл. В случае неверного соотношения, не эквивалентного $a_2$ = $2a_1$ , этап не засчитывается. Если соотношение записано как функция эксцентриситета e и соответствует правильному только при некоторых фиксированных значениях e между 1/3 и 1 (например, при том же e=1/3), за этап выставляется 1 балл.

$\frac{2}{3}$ этап — $\frac{4}{6}$ балла: вывод о расстоянии планеты от звезды r в момент изменения ее массы. При этом используются законы сохранения импульса и энергии, соответствующие формулы (2) и (4) могут выводиться, а могут браться как известные. Аналогично предыдущему этапу, полная оценка ставится только в случае правильного вывода $r=4a_1/3$ вне зависимости от эксцентриситета, что должно быть четко показано. Если участник ограничивается случаем апоцентра первоначальной орбиты (e=1/3) без корректного распространения на другие случаи, этап в случае правильного ответа оценивается в 1 балл. В случае неверного соотношения, не эквивалентного $r=4a_1/3$ или $r=2a_2/3$ , этап не засчитывается. Если соотношение записано как функция эксцентриситета e и соответствует правильному только при некоторых фиксированных значениях e между 1/3 и 1 (например, при том же e=1/3), за этап выставляется 1 балл

3 этап — 3 балла: указание возможных значений эксцентриситета. Указание верхней границы (e<1) не является обязательным, так как оно фактически записано в условии. Появление меньшей верхней границы, вне зависимости от причин, автоматически уменьшают оценку на 1 балл. Ошибки, сделанные на предыдущих этапах, приводящие к неверному минимальному значению эксцентриситета, уменьшают оценку за этот этап еще на 1 балл, если только ответ не получается заведомо абсурдным (невозможность ситуации или, наоборот, ее возможность для любых эксцентриситетах, тогда этап не засчитывается). Если значение эксцентриситета 1/3 указывается как единственное, оценка за этап составляет 1 балл.

Возможное неполное решение участника: зная только формулы для скорости тела в перицентре и апоцентре, участник может решить задачу для частного случая апоцентра изначальной орбиты, получив значение e=1/3 и верные ответы для $a_2$ и r только для этого случая. Сам по себе этот вывод дает только по 1 баллу за каждый из этапов решения (сумма -3 балла).

Далее участник может представлять, что описанный им случай является пограничным, картина заведомо не выполняется для меньших эксцентриситетов (круговые орбиты становятся параболическими, слабо вытянутые — сильно вытянутыми), но выполняются для больших эксцентриситетов. Это можно объяснить логически — представить планету на вытянутой орбите. Тогда сброс оболочки вблизи перицентра сделает орбиту гиперболической, то есть увеличит эксцентриситет, а вблизи апоцентра — наоборот, уменьшит эксцентриситет. Поэтому на орбите обязательно должна быть точка, в которой эксцентриситет останется прежним. Эти рассуждения при наличии правильного вывода $e \ge 1/3$ могут быть основанием для полной оценки в 3 балла за третий этап с суммой 1+1+3=5 баллов. Если же эксцентриситет 1/3 указывается как единственно возможный, за 3 этап выставляется 1 балл, сумма за все решение не превышает 1+1+1=3 баллов.

Дальнейшее увеличение оценки возможно только при указании, что значения r и $a_2$ не изменятся для других значений эксцентриситета e>1/3 и зависят от степени обоснованности этих выводов.

Подборка

Задача 10.4

Решение