ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.5 ГОРЯЧЕЕ БУДУЩЕЕ

Автор: А.Н. Акиньщиков

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_6a28462b36c29f09 ID p_2b09f1d3a00b22b5
Предложить исправление

Согласно модели, используемой в статье К.Р. Schröder, R.C. Smith (2008), через 12.17 млрд лет после своего образования Солнце достигнет наибольшего размера в течение своей эволюции. Радиус Солнца будет в 256 раз больше нынешнего, светимость станет в 2730 раз больше нынешней, а масса уменьшится на 33.2%. Считайте, что потеря массы Солнцем происходит медленно в течение всей стадии красного гиганта, а физические свойства других тел Солнечной системы при росте температуры не меняются.

Определите для момента времени, описанного выше:

    1. Какие планеты Солнечной системы будут поглощены Солнцем?
    1. Найдите среднюю температуру поверхности самой горячей планеты, которая не будет поглощена Солнцем.
    1. Какие крупные тела Солнечной системы окажутся в зоне жизни (средняя температура от 250 до 300К без учета парникового эффекта в атмосфере)?

Решение

Показать решение

Если масса центрального тела меняется медленно, то круговые орбиты остаются таковыми. Пусть начальная масса Солнца равна M 0 M_0 , масса в стадии красного гиганта — M. Аналогично определим старые и новые радиусы орбиты R 0 R_0 и R, периоды обращения t 0 t_0 и t. Запишем выражение обобщенного III закона Кеплера:

a 0 3 t 0 2 M 0 = a 3 t 2 M . \frac{a_0^3}{t_0^2 M_0} = \frac{a^3}{t^2 M}.

Помимо этого, в системе не появляется нерадиальных сил, и поэтому действует закон сохранения момента импульса ( v 0 v_0 и v – орбитальные скорости):

a 0 v 0 = a v ; a 0 2 t 0 = a 2 t . a_0 v_0 = a v; \quad \frac{a_0^2}{t_0} = \frac{a^2}{t}.

Возводя второе уравнение в квадрат и деля его на первое уравнение, получаем a 0 M 0 = a M a_0M_0 = aM . Таким образом, если новая масса Солнца составляет ( 1 − 0.332 ) M 0 = 0.668 M 0 (1-0.332)\ M_0 = 0.668\ M_0 , то радиусы орбит всех тел (кроме тех, что будут поглощены Солнцем) увеличатся в 1.497 раз. Новый радиус Солнца составит 256 его нынешних радиусов, что есть 179.2 млн км или 1.20 а.е. Солнце поглотит тела, находящиеся на меньших расстояниях, то есть те, которые сейчас удалены от него менее, чем на 1.20/1.497 = 0.80 а.е. Это Меркурий и Венера.

Чтобы ответить на другие вопросы, запишем уравнение теплового баланса для тела на расстоянии a от Солнца:

J ⋅ ( 1 − A ) ⋅ π r 2 4 π a 2 = 4 π σ r 2 T 4 ; T 4 = J ⋅ ( 1 − A ) 16 π σ a 2 = J ⋅ ( 1 − A ) 16 π σ a 0 2 ( M M 0 ) 2. \frac{J \cdot (1-A) \cdot \pi r^2}{4\pi a^2} = 4\pi \sigma r^2 T^4; \quad T^4 = \frac{J \cdot (1-A)}{16\pi \sigma a^2} = \frac{J \cdot (1-A)}{16\pi \sigma a_0^2} \left(\frac{M}{M_0}\right)^2.

Здесь J – светимость Солнца на стадии красного гиганта ( 1.06 ⋅ 10 30 1.06\cdot 10^{30} Вт), A – альбедо тела. Так как Меркурий и Венера окажутся поглощенными Солнцем, самой горячей планетой окажется Земля. Марс хоть и имеет меньшее альбедо, но будет холодней. Она будет располагаться на расстоянии a=1.497 а.е. от Солнца, и ее средняя температура составит

1470 К. Конечно, предположение о сохранении физических свойств Земли выглядит неразумным, тем не менее — это вполне адекватная оценка температуры Земли в этих условиях. Потеря атмосферы и воды уменьшит альбедо нашей планеты и усилит ее нагрев, но исчезнет и парниковый эффект.

Рассмотрим теперь вопрос о «зоне жизни». Если мы знаем среднюю температуру тела, то соответствующее расстояние от Солнца в виде красного гиганта есть

a = 1 4 T 2 J ⋅ ( 1 − A ) π σ ; a 0 = a M M 0 . a = \frac{1}{4T^2} \sqrt{\frac{J \cdot (1-A)}{\pi \sigma}}; \quad a_0 = a \frac{M}{M_0}.

Рассчитаем границы «зон жизни» для светлых и темных тел с характерными альбедо 0.6 и 0.2 соответственно:

Очень светлые (А=0.9)Светлые ( A =0.6)
T = 300 K a = 14.3 a = 14.3 a.e., a 0 = 9.6 a_0 = 9.6 a.e. a = 28.6 a = 28.6 a.e., a 0 = 19.1 a_0 = 19.1 a.e.
T = 250 K a = 20.6 a = 20.6 a.e., a 0 = 13.8 a_0 = 13.8 a.e. a = 41.2 a = 41.2 a.e., a 0 = 27.5 a_0 = 27.5 a.e.
Средние ( A =0.4)Темные ( A =0.2)
T = 300 K a = 35.1 a = 35.1 a.e., a 0 = 23.4 a_0 = 23.4 a.e. a = 40.5 a = 40.5 a.e., a 0 = 27.1 a_0 = 27.1 a.e.
T = 250 K a = 50.5 a = 50.5 a.e., a 0 = 33.7 a_0 = 33.7 a.e. a = 58.3 a = 58.3 a.e., a 0 = 39.0 a_0 = 39.0 a.e.

Мы можем не фиксировать определенные значения альбедо, а получить общую формулу для внутренней и внешней границы «зоны жизни»:

a 1 = 45.3 a . e . 1 − A ; a 01 = 30.2 a . e . 1 − A ; a 2 = 65.2 a . e . 1 − A ; a 02 = 43.6 a . e . 1 − A . a_1 = 45.3 \ a.e.\sqrt{1-A}; \quad a_{01} = 30.2 \ a.e.\sqrt{1-A}; \quad a_2 = 65.2 \ a.e.\sqrt{1-A}; \quad a_{02} = 43.6 \ a.e.\sqrt{1-A}.

Мы видим, что для самых светлых тел зона жизни затрагивает орбиту Сатурна, для светлых тел зона жизни оказывается между орбитами Урана и Нептуна, для темных тел она включает орбиты Нептуна и Плутона. Из больших тел, включенных в справочные данные, критериям «зоны жизни» отвечает только сам Нептун с альбедо 0.4 и — на теплой границе зоны — спутник Сатурна Тефия с альбедо 0.9. В качестве других тел, которые могут попасть в «зону жизни» можно, но не обязательно, указать Харон (спутник Плутона с более низким альбедо) и ряд других транснептуновых тел.