ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2009ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_5224fc3f351d762f ID p_2b38201241a475cd
Предложить исправление

? Половина сферической поверхности астероида с радиусом 1 км и плотностью 3 г/см3 оборудована под большое футбольное поле. Ворота шириной 7 м и высотой 3 м установлены на полюсах астероида. Мяч находится на линии одних ворот точно в ее середине. В каком интервале должны находиться направление и величина скорости, которые нужно задать мячу, чтобы после горизонтального удара он попал в противоположные ворота, не касаясь в полете поверхности астероида? Вращением астероида пренебречь.

Решение

Показать решение

Определим вначале, в каком интервале должна заключаться скорость мяча после горизонтального удара, чтобы он попал в противоположные ворота. Так как мяч не должен касаться поверхности астероида, то он должен пролететь над астероидом по крайней мере половину оборота. А для этого его скорость должна быть не менее первой космической:

v 1 = G M R = R 4 π G ρ 3 = 0.9157  m/c . v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = R\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}} = 0.9157 \text{ m/c}.

Здесь M, R и ρ \rho — масса, радиус и плотность астероида. В этом случае мяч пролетит по траектории 1 на рисунке и

попадет в нижнюю часть противоположных ворот. Максимальная скорость соответствует траектории 2, попадающей в верхнюю часть ворот. При этом орбита мяча будет эллиптической с расстоянием в перицентре R и расстоянием в апоцентре (R+h), где h — высота ворот. Заметим, что значение h значительно меньше R. С учетом этого эксцентриситет орбиты и скорость в перигелии составят

e = ( R + h ) − R ( R + h ) + R ≈ h 2 R , v 2 = G M a ⋅ 1 + e 1 − e = G M R ( 1 + e ) ≈ G M R ( 1 + e 2 ) = v 1 ( 1 + h 4 R ) = 0.9163  m/c . e = \frac{(R+h)-R}{(R+h)+R} \approx \frac{h}{2R}, \quad v_2 = \sqrt{\frac{GM}{a} \cdot \frac{1+e}{1-e}} = \sqrt{\frac{GM}{R}} (1+e) \approx \sqrt{\frac{GM}{R}} (1+\frac{e}{2}) = v_1 (1+\frac{h}{4R}) = 0.9163 \text{ m/c}.

Мы видим, что для попадания в ворота космическим футболистам будет необходимо достичь высокой точности выполнения удара. А вот высокая точность по направлению, по крайней мере, в горизонтальной плоскости, не потребуется. Как видно на рисунке, орбита мяча, близкая к круговой, будет обязательно проходить через противоположный полюс астероида, где находятся ворота, даже если мяч будет лететь по траектории 3. Область возможных направлений удара из центра своих ворот охватывает угол в 180°, то есть все футбольное поле.