ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2015ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_3dd57fb73ada9d40 ID p_2c481705ac53432d
Предложить исправление

2 Вам представлены два изображения астероида 136617 (1994 СС) во время его пролета вблизи Земли (негатив). Указаны дата и всемирное время съемки. На снимках видны два спутника. Известно, что второй спутник (снизу на фото) движется по круговой орбите с радиусом в 5 радиусов астероида и за указанный на фото временной интервал совершил малую часть одного оборота. Считая форму астероида сферической, оцените его

среднюю плотность. Угловым перемещением самого астероида за время наблюдений пренебречь.

Решение

Показать решение

Определим величину смещения нижнего спутника на фотографиях в единицах радиуса астероида:

d ∼ R / 3. d \sim R/3.

Во время наблюдений спутник располагается на небе вблизи астероида (а в пространстве, вероятнее всего, перед ним), его

элонгация существенно меньше максимальной. При этом видимое движение происходит фактически в направлении к центру астероида. Поэтому мы можем считать тангенциальную скорость равной орбитальной скорости спутника:

v = G M a . v = \sqrt{\frac{GM}{a}}.

Здесь a — радиус орбиты спутника. Обозначим интервал между двумя моментами съемки (4619 секунд) как t. Тогда

d = v ⋅ t = G M a ⋅ t = 4 π G ρ R 3 3 a ⋅ t . d = v \cdot t = \sqrt{\frac{GM}{a}} \cdot t = \sqrt{\frac{4\pi G \rho R^3}{3a}} \cdot t.

Здесь ρ \rho — средняя плотность астероида. Отсюда мы можем получить выражение для нее:

ρ = 3 a d 2 4 π G R 3 t 2 = 3 4 π G t 2 ( a R ) ⋅ ( d R ) 2. \rho = \frac{3ad^2}{4\pi GR^3t^2} = \frac{3}{4\pi Gt^2} \left(\frac{a}{R}\right) \cdot \left(\frac{d}{R}\right)^2.

Зная отношение (a/R)=5 из условия задачи и (d/R)=1/3 из сравнения фотографий, получаем значение плотности: около 100 кг/м³. Отметим, что такое невысокое значение плотности, более характерное для кометных ядер, связано с предположением о сферичности астероида и вероятным завышением его размеров.