ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_bd3f691805af929a ID p_3299ab6035d82a73
Предложить исправление

На заре развития ядерной физики было высказано предположение, что энерговыделение Солнца в течение многих миллиардов лет обеспечивалось распадом урана-238. Известно, что период полураспада этого изотопа урана составляет 4.47 млрд лет, что можно считать равным возрасту Земли, который был уже известен к тому времени. При этом образуются другие радиоактивные изотопы, распад которых происходит существенно быстрее. Энерговыделение в ходе всего цикла реакций, начиная с одного атома 238U, составляет 6.7 МэВ. Определите минимально возможную массу Солнца в предположении такого механизма его свечения.

Решение

Показать решение

В ходе распада урана количество его атомов в «гипотетическом» Солнце меняется по экспоненциальному закону:

N = N 0 ⋅ e x p ( − t ln 2 / T ) , N = N_0 \cdot exp(-t \ln 2/T),

где T – период полураспада урана. Светимость Солнца тогда будет равной

J = − E d N d t = N 0 E ln 2 T e x p ( − t ln 2 / T ) . J = -E\frac{dN}{dt} = \frac{N_0 E \ln 2}{T} exp(-t \ln 2/T).

Здесь E — энерговыделение всего цикла реакций на один атом урана, равное 6.7МэВ или 1.07 ⋅ 10 − 12 1.07 \cdot 10^{-12} Дж. Здесь важно заметить, что момент t = 0 — это не настоящая эпоха, а начало свечения Солнца. Мы знаем, что возраст Солнца и Земли не меньше одного цикла полураспада урана, то есть в настоящее время t ≥ T t \ge T . Светимость Солнца в настоящую эпоху в этом случае обеспечивается примерно половиной от исходного ядерного топлива. Исходя из этого, запишем выражение для минимального количества атомов урана в начале эволюции Солнца:

N 0 = 2 J T E ln 2 = 1.5 ⋅ 10 56 . N_0 = \frac{2JT}{E \ln 2} = 1.5 \cdot 10^{56}.

Зная молярную массу урана μ \mu (0.238 кг/моль), определим минимальную массу «уранового Солнца» в начале своей эволюции:

M = N 0 μ N A = 6 ⋅ 10 31  kz . M = \frac{N_0 \mu}{N_A} = 6 \cdot 10^{31} \text{ kz}.

Это в 30 раз больше истинной массы Солнца, в котором в настоящее время горит лишь часть водорода в ядре. Полученный ответ наглядно демонстрирует существенное превосходство термоядерных процессов над ядерными в энерговыделении на единицу массы.