ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 9.4

АстрономияКлассы неизвестны2021ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_e81caa0a55e0082d ID p_3508efb63bf43439
Предложить исправление

9.4. ВЫЖИТЬ В КАТАСТРОФЕ

Условие. Звезда – красный гигант обладает системой из очень большого количества планет, движущихся по орбитам с одинаковыми эксцентриситетами. В один момент звезда быстро сбрасывает оболочку, уносящую ровно половину массы гиганта. Тем не менее, 70% планет в итоге остались в системе звезды. Определите эксцентриситет орбит планет до сброса оболочки. Считать, что оболочка рассеивается очень быстро, ее взаимодействие с планетами с момента сброса, а также взаимодействие планет между собой не учитывать. Все планеты несравнимо меньше звезды по массе.

Решение

Показать решение

Решение. Рассмотрим планету на орбите с эксцентриситетом e вокруг красного гиганта:

Как известно, скорость планеты на некотором расстоянии r от звезды равна

v = G M ( 2 r − 1 a ) , tag 1 v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)},\tag{1}

где M — масса звезды, a — большая полуось орбиты. После быстрого сброса половины массы звезды планета останется на орбите около звезды, если ее скорость будет меньшей, чем вторая космическая скорость относительно тела с массой (M/2) на расстоянии r:

v = G M ( 2 r − 1 a ) < 2 G ( M / 2 ) r . tag 2 v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} < \sqrt{\frac{2G(M/2)}{r}}. \tag{2}

Из этого мы получаем условие сохранения планеты в системе звезды: r > a, то есть планета в момент сброса должна находиться от звезды на большем расстоянии, чем большая полуось своей орбиты.

Проведем на эллипсе его большую и малую оси. Малая ось пересекает эллипс в точках 𝐀 \mathbf{A} и 𝐁 \mathbf{B} . Как следует из свойств эллипса, именно в этих точках расстояние от центра звезды (фокуса эллипса, точки 𝐒 \mathbf{S} ) равно a. Иными словами, если в момент сброса оболочки планета окажется в левой половине своей орбиты — она покинет систему, если в правой — останется в

ней. Времена нахождения планеты в этих половинах отличается, в соответствии с II законом Кеплера, они относятся так же, как площади серой и белой частей эллипса на рисунке.

Длина малой полуоси эллипса есть

b = a 1 − e 2 . tag 3 b = a\sqrt{1 - e^2} \,. \tag{3}

Площадь всего эллипса S 0 S_0 есть π a b \pi ab , площадь треугольника SOA на рисунке, S T S_T , равна abe/2. Определим, какая часть площади эллипса приходится на его белую область на рисунке. Эта область состоит из правой половины эллипса и двух треугольников с площадью S T S_T каждый:

P = ( S 0 / 2 ) + 2 S T S 0 = a b ⋅ ( ( π / 2 ) + e ) π a b = 1 2 + e π . tag 4 P = \frac{(S_0/2) + 2S_T}{S_0} = \frac{ab \cdot ((\pi/2) + e)}{\pi ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{\pi}. \tag{4}

Полученная величина есть вероятность планеты в момент сброса оболочки остаться на эллиптической орбите около звездного остатка. Она нам задана в условии и равна 0.7. Отсюда мы получаем эксцентриситет планетных орбит в системе до сброса оболочки:

e = π ( P − 1 / 2 ) = 0.63 . tag 5 e = \pi (P - 1/2) = 0.63. \tag{5}

Критерии

Показать критерии

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1  этап − 3  балла: 1  отап − 3  балла: \frac{1 \text{ этап} - 3 \text{ балла:}}{1 \text{ отап} - 3 \text{ балла:}} указание, из какой части орбиты планета может улететь из системы звезды при потере 50% ее массы, а в каком случае она останется в системе. Вывод может быть указан как известный без математических выкладок. Этап оценивается только в случае вывода о равных частях эллипса, иначе за этап выставляется 0 баллов.

2 этап — 5 баллов: связь вероятности сохранения планеты в системе и изначального эксцентриситета орбиты.

При неточной связи члену жюри нужно проверить связь участника на осмысленность. Если вероятность, в соответствии с решением участника, равна 0.5 при e=0, далее возрастает с эксцентриситетом, но не превышает единицу при e<1, то эта неточная связь оценивается до 2 баллов с сохранением оценки за последующий этап. Если при этом отличие вероятности от верной не превышает 0.1 на всем интервале эксцентриситетов от 0 до 1, оценка за этап увеличивается до 1 баллов. При нарушении одного из двух указанных критериев (10) и максимальная оценка за этап составляет 11 балл, при нарушении обоих критериев этап не засчитывается.

Вероятная ошибка при решении: указание, что вероятность равна 50%, так как соответствующие дуги эллипса одинаковые. Вывод противоречит условию и лишает смысла второй и третий этапы решения. Засчитан может быть только первый этап решения.

3 этап — 2 балла: вычисление эксцентриситета орбит планет. Ошибки на втором этапе не влияют на оценку за 3 этап, если в итоге 2 этапа была получена неабсурдная связь P(e). Требуемая точность — 0.05 (ответ 0.6 при правильных выкладках считается верным).

Вероятное неверное решение участника: связь сохранения большинства планет с возможными резонансами и одновременном нахождении планет вблизи апоцентров орбит в момент сброса оболочки. Такое решение несостоятельно ввиду очень большого числа планет, что указано в условии. Вне зависимости от решения оценка не может превышать 2 баллов.