ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЭФФЕКТ ПОЙНТИНГА-РОБЕРТСОНА

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_5fd343c93cc96ea6 ID p_35a7ab1c18170f88
Предложить исправление

Суть известного эффекта Пойнтинга-Робертсона состоит в тормозящем действии боковых солнечных фотонов, имеющих встречную компоненту скорости относительно тела, движущегося вокруг Солнца. Как и насколько изменит расстояние от Солнца за один оборот сферическая графитовая частица радиусом 10 мкм и плотностью 2.1 г/см3, изначально обращающаяся по орбите радиусом 1 а.е. и эксцентриситетом, равным нулю?

Решение

Показать решение

Вначале обратим внимание, что кроме эффекта Пойтинга-Робертсона на частицу будет действовать световое давление, основная компонента которого направлена от Солнца. Определим силу светового давления на расстоянии 1 а.е. от Солнца:

F S = J 0 4 π R 2 ⋅ π r 2 c = S π r 2 c = 1.4 ⋅ 10 − 15 H . F_S = \frac{J_0}{4\pi R^2} \cdot \frac{\pi r^2}{c} = S \frac{\pi r^2}{c} = 1.4 \cdot 10^{-15} \ H.

Здесь J 0 J_0 — светимость Солнца, R — расстояние от Солнца до пылинки, r — радиус пылинки, S — солнечная постоянная. Мы учли, что пылинка графитовая, и свет в ней поглощается. Сила притяжения со стороны Солнца направлена в другую сторону и равна

F G = G M m R 2 = 4 G M ρ r 3 3 R 2 = 1.7 ⋅ 10 − 14 H . F_G = \frac{GMm}{R^2} = \frac{4GM\rho r^3}{3R^2} = 1.7 \cdot 10^{-14} \ H.

Здесь M и m — массы Солнца и пылинки, ρ \rho — плотность пылинки. Для частиц такого размера сила светового давления в 12 раз меньше силы притяжения. Важно понимать, что сила светового давления не приводит к изменению радиуса орбиты частицы, так как она продолжает двигаться в центральном поле Солнца с эффективной силой притяжения, зависящей от радиуса как 1 / R 2 1/R^2 . Мы можем дальше не учитывать эту силу либо проводить расчеты с эффективной массой Солнца M, равной 0.92M.

Сила Пойнтинга-Робертсона несравнимо меньше светового давления, но она направлена навстречу движения пылинки и поэтому будет изменять ее орбиту. Величина силы равна

F P R = F S v c = J 0 4 π R 2 ⋅ π r 2 v c 2 . F_{PR} = F_S \frac{v}{c} = \frac{J_0}{4\pi R^2} \cdot \frac{\pi r^2 v}{c^2}.

Здесь у – скорость пылинки. Работа этой силы за один оборот отрицательна и равна

A P R = − F P R ⋅ 2 π R = − J 0 2 R ⋅ π r 2 v c 2 . A_{PR} = -F_{PR} \cdot 2\pi R = -\frac{J_0}{2R} \cdot \frac{\pi r^2 v}{c^2}.

Эта работа приводит к изменению полной энергии пылинки, равной для кругового вращения

E = − G M ′ m 2 R . E = -\frac{GM'm}{2R}.

Обозначим изменение радиуса орбиты как Δ R \Delta R и учтем, что эта величина существенно меньше R. Тогда

− G M ′ m 2 ( R + Δ R ) = − G M ′ m 2 R − J 0 2 R ⋅ π r 2 v c 2 . -\frac{GM'm}{2(R+\Delta R)} = -\frac{GM'm}{2R} - \frac{J_0}{2R} \cdot \frac{\pi r^2 v}{c^2}.

В соответствии с формулами для малых приращений

1 R + Δ R ≈ 1 R − Δ R R 2 . \frac{1}{R + \Delta R} \approx \frac{1}{R} - \frac{\Delta R}{R^2}.

Подставляя это в предыдущую формулу, имеем:

− G M ′ m Δ R 2 R 2 = J 0 2 R ⋅ π r 2 v c 2 . -\frac{GM'm\Delta R}{2R^2} = \frac{J_0}{2R} \cdot \frac{\pi r^2 v}{c^2}.

Изменение радиуса орбиты за один оборот составит

Δ R = − J 0 π r 2 v R G M ′ m c 2 = − J 0 π r 2 m c 2 R G M ′ = − 3 J 0 4 ρ r c 2 R G M ′ ≈ − 5000 км . \Delta R = -\frac{J_0 \pi r^2 v R}{G M' m c^2} = -\frac{J_0 \pi r^2}{m c^2} \sqrt{\frac{R}{G M'}} = -\frac{3J_0}{4 \rho r c^2} \sqrt{\frac{R}{G M'}} \approx -5000 \ \text{км}.