ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ОСКОЛКИ ЛУНЫ

Автор: Е.Н. Фадеев, О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_8caca8f47771e661 ID p_39f59558f0a304ae
Предложить исправление

Враждебные инопланетяне разрушили Луну, превратив ее в огромное количество шарообразных осколков диаметром 10 м. Все эти тела стали двигаться, равномерно заполнив пространство вокруг Земли между сферами размером с перигей и апогей лунной орбиты. Оцените концентрацию этих осколков и звездную величину всей полусферы ночного неба на Земле. Влиянием земной атмосферы пренебречь. Считать все осколки одинаковыми, а их плотность и оптические свойства аналогичными самой Луне.

Решение

Показать решение

Ответим сначала на первый вопрос задачи. Пусть R – радиус Луны (1738 км), а r – радиус осколка (5 м). Объем Луны составляет (4/3)πR3 , Объем осколка – (4/3)πr 3 . Поскольку объем всех осколков равен объему Луны, полное число этих тел равно

N = ( R / r ) 3 = 4.2 ⋅ 10 16 . N = (R/r)^3 = 4.2 \cdot 10^{16}.

Пространство, заполненное осколками, представляет собой сферический слой со средним радиусом D (среднее расстояние от Земли до Луны) и толщиной 2De (e - эксцентриситет орбиты Луны), толщина существенно меньше радиуса. Объем этой области равен

V = 4 π D 2 ⋅ 2 D e = 8 π D 3 e = 7.8 ⋅ 10 16  km 3. V = 4\pi D^2 \cdot 2De = 8\pi D^3 e = 7.8 \cdot 10^{16} \text{ km}^3.

Концентрация осколков n = N / V ∼ 0.55 ~ k m − 3 n=N/V\sim0.55~{\rm km}^{-3} . Если мы возьмем предельные значения расстояния Луны в перигее и апогее из справочных данных, то мы получим несколько большее значение объема ( 9.2 ⋅ 10 16 ~ k m 3 ) (9.2\cdot10^{16}~{\rm km}^3) и концентрации ( 0.45 ~ k m − 3 ) (0.45~{\rm km}^{-3}) .

Теперь нужно выяснить, какую яркость ночного неба будут создавать эти осколки. Казалось бы, мы можем достаточно просто решить эту задачу, определив яркость каждого осколка и умножив ее на число осколков видимых на небе. Луна и все осколки находятся на примерно одинаковом расстоянии от наблюдателя. Обозначив яркость Луны как J 0 J_0 , получаем, что яркость одного осколка есть

j = J r 2 / R 2. j = Jr^2/R^2.

Из любой точки Земли будет видна примерно половина всех осколков. Их суммарная яркость составит

J = ( N / 2 ) j = J R / 2 r . J = (N/2) j = JR/2r.

Соответствующая звездная величина будет равна

m = m 0 − 2.5 lg ( J R / 2 r ) = m 0 − 13.1. m = m_0 - 2.5 \lg (JR / 2r) = m_0 - 13.1.

Сам по себе этот ответ уже вызывает удивление: небо оказывается очень ярким. Действительно, среднюю звездную величину Луны можно взять для фазы, близкой к первой или последней четверти, а можно определить, зная ее сферическое альбедо A:

m 0 = M 0 − 2.5 lg π R 2 A 4 π D 2 = M 0 − 2.5 lg R 2 A 4 D 2 = M 0 + 16.1 = − 10.6. m_0 = M_0 - 2.5 \lg \frac{\pi R^2 A}{4\pi D^2} = M_0 - 2.5 \lg \frac{R^2 A}{4D^2} = M_0 + 16.1 = -10.6.

Выходит, что при сферическом альбедо 0.07 небо должно иметь величину − 23.7 m -23.7^{\rm m} , то есть всего на 3 m 3^{\rm m} или в 16 раз слабее Солнца! Мысленно предположив большее альбедо (порядка единицы) и возможность наблюдения всей сферы из осколков, мы получим, что они светили бы ярче Солнца, чего не может быть (в реальности, даже при альбедо, равном единице, вся равномерно рассеивающая сфера не может светить ярче 1/4 от яркости Солнца).

Причина противоречия в том, что мы не учли высокую оптическую плотность слоя осколков. Умножим площадь, на которой осколок задерживает излучение ( π r 2 ) (\pi r^2) на число осколков ( R 3 / r 3 ) (R^3/r^3) , и разделим это на площадь всей сферы:

τ = π r 2 R 3 r 3 4 π D 2 = R 3 4 r D 2 = 1.8. \tau = \frac{\pi r^2 R^3}{r^3 4\pi D^2} = \frac{R^3}{4rD^2} = 1.8.

Полученная величина есть среднее количество осколков на пути луча, идущего перпендикулярно к слою (фактически, его оптическая толщина). Даже в этом случае осколки будут в заметной степени затенять друг друга. С другой стороны, коль скоро это число порядка единицы, значительное число света будет рассеиваться осколками и попадать к наблюдателю.

Точный расчет яркости сферы представляет собой достаточно сложную задачу, однако это можно сделать приближенно. Приведем один из наиболее простых и при этом эффективных способов. Рассмотрим одну из возможных траекторий луча света от Солнца к какому-либо осколку и далее к Земле.

Путь луча до осколка может быть разным, он может проходить через слой один или два раза с существенно разной длиной. Так как нас интересует полная яркость небесной полусферы, будем считать, что каждый равный элемент площади сферы S рассеивает одинаковое количество солнечного излучения. Будем считать, что вся солнечная энергия, попадающая на сферу, задерживается или рассеивается в ней (оптическая толщина по диаметру не менее 3.6, по хорде — еще больше). Сфера площадью 4 π D 2 4\pi D^2 за единицу времени задерживает π D 2 ⋅ J 0 \pi D^2 \cdot J_0 солнечной энергии ( J 0 J_0 — плотность потока солнечного излучения на расстоянии Земли). 7% этой энергии рассеивается в окружающее пространство. Плотность потока энергии от элемента сферы с площадью S на Земле будет равна

j S = J 0 π D 2 S 4 π D 2 ⋅ A 4 π D 2 ⋅ e − τ / 2 . j_S = J_0 \pi D^2 \frac{S}{4\pi D^2} \cdot \frac{A}{4\pi D^2} \cdot e^{-\tau/2}.

Последний множитель выражает ослабление излучения в сфере уже после рассеяния, средний путь через сферу при этом равен половине ее толщины. Суммируя все элементы с площадью S по полусфере, получаем общую плотность потока излучения от нее на Земле:

j = j S ⋅ 2 π D 2 S = J 0 A 8 e − τ / 2 . j = j_S \cdot \frac{2\pi D^2}{S} = J_0 \frac{A}{8} e^{-\tau/2}.

Переведем это в звездные величины:

m = M 0 − 2.5 lg ( A 8 e − τ / 2 ) = M 0 − 2.5 lg ( A 8 ) + 1.08 τ 2 = M 0 + 6.1 = − 20.7. m = M_0 - 2.5 \lg \left(\frac{A}{8}e^{-\tau/2}\right) = M_0 - 2.5 \lg \left(\frac{A}{8}\right) + \frac{1.08\tau}{2} = M_0 + 6.1 = -20.7.

Несмотря на большую оптическую плотность сферы, небо все равно остается достаточно ярким. Конечно, здесь мы не учли, что эта яркость будет существенно меньше в областях неба вдали от Солнца, но и там засветка останется значительной. Если говорить об астрономических наблюдениях, то они будут затруднены также тем, что сфера будет блокировать излучение далеких объектов.