ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

3 МИМОЛЕТНОЕ СВИДАНИЕ

Автор: О.С. Угольников

Астрономия10 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_29df3a9b4e214cb1 ID p_3ed9f8812251ca45
Предложить исправление

Небольшой астероид пролетает около некоторой планеты, двигаясь относительно нее по параболической траектории. Когда расстояние между планетой и астероидом было минимальным, на планете измерили угловую скорость астероида, она оказалась равной ω 0 \omega_0 . Через некоторое время угловая скорость астероида составила ω 0 / 2 \omega_0/2 , а лучевая скорость оказалась равной ν \nu . Какой станет лучевая скорость астероида, когда его угловая скорость будет равна ω 0 / 4 \omega_0/4 ? Размерами планеты и действием на астероид других тел, кроме планеты, пренебречь, планета не вращается вокруг своей оси.

Решение

Показать решение

Обозначим минимальное расстояние между планетой и астероидом как r 0 r_0 , а его пространственную скорость относительно планеты − u 0 -u_0 . В этот момент астероид движется перпендикулярно направлению на планету, поэтому его угловая скорость есть ω 0 = u 0 / r 0 \omega_0 = u_0/r_0 . Далее астероид удаляется от планеты. Пусть в некоторый момент его расстояние от планеты есть r, а скорость равна u. Так как орбита параболическая, полная энергия астероида в оба момента равна нулю, то есть

Помимо этого, в системе сохраняется момент импульса (что эквивалентно II закону Кеплера). В расчете на единицу массы астероида он равен произведению расстояния на тангенциальную компоненту скорости:

r 0 ⋅ u 0 = r ⋅ v T = r ⋅ u ⋅ sin θ , r_0 \cdot u_0 = r \cdot v_T = r \cdot u \cdot \sin \theta,

где θ \theta – угол между направлением с планеты на астероид и направлением скорости астероида. Угловая скорость астероида при наблюдении с планеты будет равна

ω = v T r = r 0 u 0 r 2 = ω 0 r 0 2 r 2 . \omega = \frac{v_{\rm T}}{r} = \frac{r_0 u_0}{r^2} = \omega_0 \frac{r_0^2}{r^2}.

Отсюда мы также имеем выражение для угла θ \theta :

sin θ = r 0 ⋅ u 0 r ⋅ u = r 0 r \sin\theta = \frac{r_0 \cdot u_0}{r \cdot u} = \sqrt{\frac{r_0}{r}}

В последнем равенстве мы использовали записанный ранее закон сохранения энергии. Лучевая скорость составит

v R = u ⋅ cos θ = u 0 ⋅ r 0 ⋅ cos θ r ⋅ sin θ = u 0 ⋅ r 0 r 0 ⋅ r ⋅ 1 − r 0 r = u 0 r 0 ⋅ ( r − r 0 ) r . v_{\rm R} = u \cdot \cos\theta = \frac{u_0 \cdot r_0 \cdot \cos\theta}{r \cdot \sin\theta} = \frac{u_0 \cdot r_0}{\sqrt{r_0 \cdot r}} \cdot \sqrt{1 - \frac{r_0}{r}} = u_0 \frac{\sqrt{r_0 \cdot (r - r_0)}}{r}.

В момент, описанный в условии задачи, угловая скорость ω 1 = ω 0 / 2 \omega_1 = \omega_0/2 , из чего мы получаем расстояние и лучевую скорость:

r 1 = r 0 ⋅ 2 ; v = u 0 2 − 1 2 . r_1 = r_0 \cdot \sqrt{2}; \quad v = u_0 \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}.

Когда угловая скорость станет равной ω 2 = ω 0 / 4 \omega_2 = \omega_0/4 , мы получим:

r 2 = r 0 ⋅ 2 ; v 2 = 1 2 u 0. r_2 = r_0 \cdot 2; \quad v_2 = \frac{1}{2}u_0.

В итоге, лучевая скорость астероида будет равна

v 2 = v 1 1 2 ⋅ ( 2 − 1 ) = v 1 2 + 1 2 ≈ 1.10 ⋅ v . v_2 = v_1 \sqrt{\frac{1}{2 \cdot (\sqrt{2} - 1)}} = v_1 \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \approx 1.10 \cdot v.

Можно заметить, что это будет максимальная лучевая скорость для этого астероида, с его дальнейшим удалением от планеты она начнет уменьшаться.

3. Система оценивания. При проверке решений необходимо иметь ввиду, что построение решения участником может существенно отличаться от приведенного выше. Оценка должна определяться правильным применением основных законов и соотношений между величинами. Задание не предусматривает численный счет, и все этапы засчитываются только при точной записи тех или иных соотношений, которые должен получить участник. Оценка является суммой двух основных составляющих — качество решения и ответа. Ошибка, сделанная на каком-либо этапе решения (часть 1) не влияет на оценки за другие этапы решения, но может сказаться на оценке за часть 2, если она приводит к ошибке в ответе. Максимальная оценка за все решение составляет 10 баллов.