ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный9 класс2023Есть решение редакция rv_f3bd41379cff3c6e ID p_424d7c8a2457452b
Предложить исправление

В телескоп с диаметром 20 см и фокусным расстоянием 1000 мм фотографируют Марс в момент великого противостояния (расстояние между Марсом и Землей 0.38 а.е.) на ПЗС-матрицу с размером пикселя 5 мкм. Сколько пикселей занимает Марс? Сколько фотонов будет в каждом пикселе при выдержке 1/200 секунды?

Считайте, что от звезды нулевой звёздной величины приходит 10 6 10^6 фотонов за 1 секунду на 1 см 2 ^2 . Звёздная величина Марса во время великих противостояний − 2.9 m -2.9^{\rm m} .

Решение

Показать решение

На первом этапе задачи определим угловой размер Марса в противостоянии. Воспользуемся формулой углового размера:

ρ ″ = 206265 ⋅ D r 0 = 24.6  " . \rho'' = \frac{206265 \cdot D}{r_0} = 24.6 \text{ "}.

Теперь определим линейный размер изображения Марса в фокальной плоскости

x = F ⋅ ρ . x = F \cdot \rho.

Здесь р – должно быть подставлено в радианах. Подставляем значения и получаем

x = F ⋅ ρ = 1000 mm ⋅ 24.6 206265 = 0.1193 mm = 119.3 mkm . x = F \cdot \rho = 1000 \,\text{mm} \cdot \frac{24.6}{206265} = 0.1193 \,\text{mm} = 119.3 \,\text{mkm}.

Согласно условию, один пиксель имеет размер 5 мкм. Тогда линейный диаметр изображения Марса составит d=119.3 / 5 ≈ 23.9 5\approx23.9 пикселя. Поскольку Марс в противостоянии, то его фаза равна 1, и на изображении будет виден весь диск Марса. Марс при этом займёт

N p x = π ⋅ ( d / 2 ) 2 = 447  пикселей. N_{\rm px} = \pi \cdot (d/2)^2 = 447 \text{ пикселей.}

K такому же ответу можно прийти, если сначала вычислить площадь изображения Марса в микрометрах, а затем разделить на площадь одного пикселя — 25  мкм 2 25 \text{ мкм}^2 .

Теперь определим число фотонов, пришедшее на 1 пиксель за время экспозиции. Марс во время великих противостояний имеет видимую звёздную величину − 2.9 m -2.9^{\rm m} . Определим количество фотонов, приходящих от Марса за время экспозиции:

N = N 0 ⋅ Δ t ⋅ S ⋅ 10 − 0.4 ( m − m 0 ) , N = N_0 \cdot \Delta t \cdot S \cdot 10^{-0.4(m-m_0)},

где Δ t \Delta t — это выдержка фотографии, показывающая, сколько времени открыт затвор. Количество фотонов линейно растёт с увеличением выдержки. S — площадь объектива телескопа, N 0 N_0 — число фотонов, приходящих от звезды 0 m 0^{\rm m} , а множитель 10 − 0.4 [ m − m 0 ] 10^{-0.4[m-m_0]} показывает, насколько больше освещённость от объекта, чем от звезды нулевой звёздной величины.

Будем использовать предположение, что все фотоны имеют одинаковую энергию. Тогда соотношение освещённостей равно отношению числа фотонов. Вычислим общее число фотонов, которые придут на ПЗС камеру:

N = 10 6 ⋅ 1 200 ⋅ π 20 2 4 ⋅ 10 − 0.4 [ − 2.9 − 0 ] = 22.7 ⋅ 10 6. N = 10^6 \cdot \frac{1}{200} \cdot \frac{\pi 20^2}{4} \cdot 10^{-0.4[-2.9-0]} = 22.7 \cdot 10^6.

Для определения числа фотонов в одном пикселе разделим общее число фотонов на число пикселей:

N 1 = 22.7 ⋅ 10 6 447 = 50.8 ⋅ 10 3. N_1 = \frac{22.7 \cdot 10^6}{447} = 50.8 \cdot 10^3.

Это и будет ответом на задачу.