ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.2 В ЗАКАТНОМ НЕБЕ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ff34ad095aef33c4 ID p_4ca8464d961e337d
Предложить исправление

Во время недолгого перерыва в работе строители новой научной базы на поверхности Марса любуются закатом Солнца. Сразу после него на фоне зари появились две яркие планеты — Венера и Земля, вступившие в тесное соединение (без покрытия) друг с другом невдалеке от Солнца на небе и имеющие одинаковую видимую яркость. Определите угловое расстояние Венеры и Земли от Солнца, а также величины их фаз. Считать орбиты всех планет круговыми. Принять также, что за счет плотных атмосфер и облаков поверхностная яркость освещенных частей дисков Венеры и Земли не зависит от фазового угла (между направлением на Солнце и наблюдателя). Сумеречными эффектами (освещенностью атмосфер Венеры и Земли во время сумерек) пренебречь.

Решение

Показать решение

Судя по описанию ситуации, Венера и Земля находились на марсианском небе недалеко от Солнца. Обе планеты для Марса являются внутренними, и для какого-либо фиксированного углового расстояния от Солнца возможны два положения планеты на орбите. Если это угловое расстояние маленькое — то планета находится либо вблизи верхнего, либо вблизи нижнего соединения. Рассмотрим сначала самый простой случай — обе планеты располагаются вблизи верхнего соединения с Солнцем, позади него в пространстве. Тогда их фазы близки к полным, а расстояния от Марса — примерно равным сумме радиусов орбиты Марса и Венеры (Земли). Для видимой яркости планеты можно записать:

J 1 , 2 = C ⋅ B 0 4 π R 1 , 2 2 ⋅ A 1 , 2 ⋅ π r 1 , 2 2 4 π ( R 1 , 2 + R 3 ) 2 . J_{1,2} = C \cdot \frac{B_0}{4\pi R_{1,2}^2} \cdot A_{1,2} \cdot \frac{\pi r_{1,2}^2}{4\pi (R_{1,2} + R_3)^2}.

Здесь B 0 B_0 — светимость Солнца, R 1 , 2 , 3 R_{1,2,3} — радиусы орбит Венеры, Земли и Марса, r 1 , 2 r_{1,2} — радиусы Венеры и Земли, A 1 , 2 A_{1,2} — геометрическое альбедо Венеры и Земли, а C — некоторая константа, определяющая угловое распределение яркости отраженного планетой света. Для нас важно, что в соответствии с условием задачи эта константа одинакова для Венеры и Земли. Из этого мы можем получить разницу видимых звездных величин Венеры и Земли:

m 1 S − m 2 S = − 2.5 lg J S 1 J S 2 = − 2.5 lg ( R 2 2 R 1 2 ⋅ r 1 2 r 2 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ ( R 2 + R 3 ) 2 ( R 1 + R 3 ) 2 ) = − 1.45. m_{1S} - m_{2S} = -2.5 \lg \frac{J_{S1}}{J_{S2}} = -2.5 \lg \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_2 + R_3)^2}{(R_1 + R_3)^2} \right) = -1.45.

Из этого мы можем сделать вывод, что если обе планеты располагаются за Солнцем, Венера будет выглядеть заведомо ярче Земли. Это можно понять и на качественном уровне: Венера ближе к Солнцу, в этой конфигурации — ближе и к Марсу, у нее существенно больше альбедо. Разница радиусов Земли и Венеры очень незначительна и никак эти эффекты не компенсирует.

Рассмотрим другой случай — обе планеты располагаются вблизи нижнего соединения. Тогда существенное влияние на их видимую яркость оказывают их фазы, которые необходимо учесть. Пусть угловое расстояние планет от Солнца равно ε \varepsilon . Тогда по теореме синусов для фазового угла ϕ \phi мы можем записать:

K

Угол ϕ \phi больше 90 ∘ 90^{\circ} , и для него мы имеем:

cos φ 1 , 2 = − 1 − sin 2 φ 1 , 2 ≈ − 1 + sin 2 φ 1 , 2 2 = − 1 + sin 2 ε ⋅ R 3 2 2 R 1 , 2 2 . \cos\varphi_{1,2} = -\sqrt{1-\sin^2\varphi_{1,2}} \approx -1 + \frac{\sin^2\varphi_{1,2}}{2} = -1 + \frac{\sin^2\varepsilon\cdot R_3^2}{2R_{1,2}^2}.

Фаза планеты составляет

F 1 , 2 = 1 + cos φ 1 , 2 2 = sin 2 ε ⋅ R 3 2 4 R 1 , 2 2 . F_{1,2} = \frac{1 + \cos \varphi_{1,2}}{2} = \frac{\sin^2 \varepsilon \cdot R_3^2}{4R_{1,2}^2}.

По условию задачи, яркость планеты с фазой F есть яркость ее полного диска на том же расстоянии от Солнца и наблюдателя, умноженная на фазу. Отсюда мы получаем соотношение звездных величин Венеры и Земли, если они находятся близ нижнего соединения с Солнцем:

m 1 I − m 2 I & = − 2.5 l g J 1 I J 2 I = − 2.5 l g ( R 2 2 R 1 2 ⋅ r 1 2 r 2 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ ( R 3 − R 2 ) 2 ( R 3 − R 1 ) 2 ⋅ F 1 F 2 ) = \ & = − 2.5 l g ( R 2 4 R 1 4 ⋅ r 1 2 r 2 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ ( R 3 − R 2 ) 2 ( R 3 − R 1 ) 2 ) = − 1.0 . \begin{split} m_{1I} - m_{2I} &= -2.5 lg \frac{J_{1I}}{J_{2I}} = -2.5 lg \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \cdot \frac{F_1}{F_2} \right) = \\ &= -2.5 lg \left( \frac{R_2^4}{R_1^4} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \right) = -1.0. \end{split}

И вновь Венера оказывается ярче Земли, причем на малых угловых расстояниях от Солнца эта разница практически постоянна. Совершенно очевидно, что нам не подойдет вариант, при котором Земля располагается вблизи нижнего соединения, а Венера — позади Солнца. Действительно, в этом случае фаза Венеры практически полная, расстояние до нее равно R 1 + R 3 R_1 + R_3 . Земля находится ближе к Марсу (расстояние R 3 − R 2 R_3 - R_2 ), но имеет малую фазу. Определим, чему должна быть равна эта фаза F 2 F_2 , чтобы видимые яркости могли сравняться:

J 1 S J 2 I = R 2 2 R 1 2 ⋅ r 1 2 r 2 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ ( R 3 − R 2 ) 2 ( R 3 + R 1 ) 2 ⋅ 1 F 2 = 1. \frac{J_{1S}}{J_{2I}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 - R_2)^2}{(R_3 + R_1)^2} \cdot \frac{1}{F_2} = 1.

Отсюда мы получаем F 2 = 0.20 F_2 = 0.20 . Это достаточно большая фаза. Для ее достижения фазовый угол Земли должен составлять φ 2 = arccos ( 2 F 2 − 1 ) = 126.9 ∘ \varphi_2 = \arccos(2F_2 - 1) = 126.9^\circ . По теореме синусов мы можем определить элонгацию Земли:

sin ε R 2 = sin φ 2 R 3 ; ε = 31.7 ∘ . \frac{\sin \varepsilon}{R_2} = \frac{\sin \varphi_2}{R_3}; \quad \varepsilon = 31.7^{\circ}.

Это больше, чем максимальная элонгация Венеры на Марсе (28.3°). Более того, мы можем принять во внимание, что в этом случае расстояние от Марса до Земли будет уже существенно больше, чем R 3 − R 2 R_3 - R_2 ., и мы несколько переоцениваем яркость Земли. С другой стороны, Венера в наибольшей элонгации, несмотря на фазу 50% светит даже ярче, чем в верхнем соединении, за счет меньшего расстояния до Марса, соответствующая разница составляет 0.37 m 0.37^{\rm m} . В итоге, предположение о Земле вблизи нижнего соединения не дает нам решения задачи.

Нам остается предположить единственный вариант: Земля находится позади Солнца и имеет практически полную фазу (будем считать ее в первом приближении равной единице), а Венера, наоборот, располагается между Солнцем и Марсом и имеет вид тонкого серпа. Запишем выражение для отношения яркостей Венеры и Земли:

J 1 I J 2 S = R 2 2 R 1 2 ⋅ r 1 2 r 2 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ ( R 3 + R 2 ) 2 ( R 3 − R 1 ) 2 ⋅ F 1. \frac{J_{1I}}{J_{2S}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{(R_3 + R_2)^2}{(R_3 - R_1)^2} \cdot F_1.

Считая яркости Земли и Венеры равными, определим фазу Венеры:

F 1 = R 1 2 R 2 2 ⋅ r 2 2 r 1 2 ⋅ A 2 A 1 ⋅ ( R 3 − R 1 ) 2 ( R 3 + R 2 ) 2 = 0.033. F_1 = \frac{R_1^2}{R_2^2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{(R_3 - R_1)^2}{(R_3 + R_2)^2} = 0.033.

Теперь мы можем определить угловое расстояние Венеры (и Земли) от Солнца:

s i n 2 ε = 4 F 1 , 2 ⋅ R 1 2 R 3 2 ; ε = 10 ∘ . sin^2 \varepsilon = \frac{4F_{1,2} \cdot R_1^2}{R_3^2}; \quad \varepsilon = 10^\circ.

Очевидно, что на столь малом угловом расстоянии от Солнца фаза Земли вблизи верхнего соединения, как мы и предполагали, близка к единице. Однако мы можем определить ее и более точно. Из теоремы синусов (см. рисунок) мы имеем

sin γ 2 = sin ε R 3 R 2 ; γ 2 = 15 ∘ ; \sin \gamma_2 = \sin \varepsilon \frac{R_3}{R_2}; \quad \gamma_2 = 15^\circ;
F 2 = 1 + cos γ 2 2 = 0.983. F_2 = \frac{1 + \cos \gamma_2}{2} = 0.983.

Хотя мы использовали приближенный вариант решения, мы получили ответ, очень близкий к точному, с учетом предположения об отражающих свойствах атмосфер Венеры и Земли. Точное угловое расстояние Земли и Венеры от Солнца составляет 10.3, фаза Венеры – 0.037, фаза Земли – 0.981. И это единственный возможный вариант соединения с равным блеском, в чем можно убедиться из диаграммы «элонгация от Солнца – видимая звездная величина» для Венеры и Земли на Марсе: