ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЦЕПОЧКА НА ОРБИТЕ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2016ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_783bb1b9efd0260c ID p_44c4c6ec6e1d9176
Предложить исправление

2 На одну и ту же околосолнечную орбиту с небольшим эксцентриситетом e было запущено 10000 одинаковых спутников — больших гладких металлических шаров, с интервалом 1/10000 орбитального периода T. С одного спутника ведутся измерения видимой звездной величины соседнего спутника. С каким периодом и какой амплитудой (разницей максимума и минимума) будет меняться эта звездная величина? Гравитационное взаимодействие шаров друг с другом и с планетами не учитывать.

Решение

Показать решение

Количество шаров достаточно велико, и участок орбиты между двумя соседними шарами можно считать прямой линией. Расстояние между шарами равно d=vt, где v — скорость шаров (которую можно считать одинаковой), а t — временной интервал между моментами запуска соседних спутников (или интервал между моментами прохождения ими какой-то фиксированной точки орбиты). Это время равно T/10000. Для расстояния от Солнца r скорость равна

v 2 = G M ( 2 r − 1 a ) . v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right).

Металлические шары отражают свет равномерно во все стороны. В этом случае яркость одного шара при наблюдении с соседнего шара будет обратно пропорциональна квадрату их расстояния от Солнца и квадрату расстояния между ними:

J = c o n s t d 2 r 2 = c o n s t v 2 r 2 = c o n s t G M r 2 ( 2 r − 1 a ) = c o n s t 2 x − x 2 ; x = r a . J = \frac{const}{d^2r^2} = \frac{const}{v^2r^2} = \frac{const}{GMr^2\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} = \frac{const}{2x - x^2}; \quad x = \frac{r}{a}.

Величина x изменяется от (1-e) до (1+e). Можно сделать вывод, что вблизи перигелия и афелия яркость соседнего спутника будет одинаковой: меньшее расстояние от Солнца будет компенсировано большим расстоянием между соседними спутниками и наоборот. Данный вывод можно получить и из II закона Кеплера. Между перигелием и афелием яркость будет уменьшаться. Так как эксцентриситет орбит небольшой, минимум будет достигаться примерно посередине между этими точками. Период изменения видимой яркости соседнего спутника составит T/2. Чтобы определить амплитуду, запишем выражение для звездной величины соседнего спутника:

m = c o n s t − 2.5 lg J = m 0 + 2.5 lg ( 2 x − x 2 ) = m 0 + 2.5 lg ( 1 − ( x − 1 ) 2 ) . m = const - 2.5 \lg J = m_0 + 2.5 \lg(2x - x^2) = m_0 + 2.5 \lg(1 - (x - 1)^2).

В перигелии (x=1-e) величина в скобках равна ( 1 − e 2 ) (1-e^2) , такой же она будет и в афелии (x=1+e). Когда расстояние сравняется со средним (x=1), величина в скобках будет равна единице. В итоге, разность звездных величин будет равна

Δ m = 2.5 lg ( 1 − e 2 ) ≈ 2.5 e 2 / ln 10 = 1.08 e 2. \Delta m = 2.5 \lg(1 - e^2) \approx 2.5 e^2 / \ln 10 = 1.08 e^2.

Последние два равенства справедливы, если эксцентриситет орбит существенно меньше единицы.