ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный11 класс2015Есть решение редакция rv_34f45f1c9efe31f8 ID p_4a702c04db9fea27
Предложить исправление

На снимках космической обсерватории SOHO различимы звезды до 8m на 20 угловых радиусах Солнца от его центра. Каким должен быть размер астероида, чтобы его можно было бы обнаружить рядом с Солнцем, в 20 радиусах от его центра в пространстве? Оптические свойства поверхности астероида считать аналогичными лунным, материал тугоплавким, изменениями свойств из-за нагрева пренебречь.

Решение

Показать решение

Чтобы увидеть астероид, расположенный в 20 радиусах Солнца от его центра, на 20 угловых радиусах Солнца от его положения на небе, астероид должен располагаться «сбоку» от Солнца. Условия его освещения будут аналогичны условию освещения Луны в фазе первой или последней четверти, поэтому нам нужно сравнивать яркость астероида с Луной именно в этой фазе. Тогда ее блеск m 0 m_0 составляет − 10 m -10^{\rm m} . Освещенность, создаваемая Луной на Земле в это время, равна

J 0 = B ⋅ A ⋅ F ⋅ R 0 2 16 π ⋅ L 0 2 D 0 2 . J_0 = \frac{B \cdot A \cdot F \cdot R_0^2}{16\pi \cdot L_0^2 D_0^2}.

Здесь B — светимость Солнца, A — сферическое альбедо Луны, F — фактор, характеризующий отражательную способность лунной поверхности для конфигурации первой и последней четверти (может показаться, что этот фактор равен 0.5, но в действительности он существенно меньше, как видно из звездных величин Луны в первой и последней четверти и в полнолунии). R 0 R_0 — расстояние от Солнца до Луны (и Земли), D 0 D_0 — расстояние от Луны до Земли.

По условию задачи, свойства поверхности астероида аналогичны лунным, следовательно, при таких же условиях освещения («сбоку») у него будут те же значения A и F. Расстояние от астероида до Земли в этом случае такое же, как от Солнца до Земли – L 0 L_0 . Освещенность, создаваемая астероидом на Земле, составит

J = B ⋅ A ⋅ F ⋅ R 2 16 π ⋅ D 2 L 0 2 . J = \frac{B \cdot A \cdot F \cdot R^2}{16\pi \cdot D^2 L_0^2}.

Здесь R — радиус астероида, D — его расстояние от Солнца. Чтобы обнаружить астероид, эта освещенность должна соответствовать звезде m=8, то есть

J J 0 = R 2 D 0 2 R 0 2 D 2 ≥ K = 10 0.4 ( m 0 − m ) = 6.3 ⋅ 10 − 8 . \frac{J}{J_0} = \frac{R^2 D_0^2}{R_0^2 D^2} \ge K = 10^{0.4(m_0 - m)} = 6.3 \cdot 10^{-8}.

Радиус астероида должен быть

R ≥ R 0 D K D 0 . R \ge \frac{R_0 D \sqrt{K}}{D_0}.

Расстояние D есть 20 радиусов Солнца (14 млн км), отсюда минимальный радиус астероида составляет 16 км.