9/10/11.5 ЛЕТЯЩИЕ ВДАЛИ

Данных на карте достаточно, чтобы с нужной точностью определить периоды вращения всех четырех тел и расставить их в порядке возрастания. Но мы можем обратить внимание на некоторые качественные факторы, которые дают возможность быстро подойти к правильному ответу.

Сразу отметим, что все четыре тела движутся в небе параллельно эклиптике. Для далеких тел это означает, что их среднее за год удаление от эклиптики в это время практически равно углу наклона их орбиты к плоскости орбиты Земли. По рисунку мы видим, что тела В и C удалены от эклиптики на одинаковый угол (4°), а тела A и D втрое дальше от нее (наклонение 12°).

Еще один примечательный факт: вертикальная толщина петель, описываемых четырьмя телами на небе, практически одинакова. Для далеких тел с не очень большим наклоном орбит эта толщина близка к удвоенному угловому расстоянию от эклиптики i, деленному на пространственное расстояние от Солнца до тела r, в чем можно убедиться из рисунка ниже.

Закрыть

Действительно, толщина петли β ≈ d/r = 2ai/r, здесь a – радиус орбиты Земли. По карте мы можем определить угол β, равный 0.6° для всех тел, и далее получить, что тела B и C удалены от Солнца на 13 а.е., а тела A и D втрое дальше, около 40 а.е. от Солнца. Как мы увидим далее, эти цифры весьма близки к действительности. Их же можно получить с помощью более сложных, но более точных измерений годичного параллакса малых тел.

Даже не делая расчетов, мы видим, что тело B за время наблюдений смещается на больший угол по орбите, чем тело C, расположенное на том же расстоянии от Солнца. Следовательно, большая полуось орбиты тела B больше, чем у тела C. Аналогичный вывод мы можем сделать относительно тел A и D.

Далее, у тел A и B соседние петли касаются друг друга, что говорит о пропорциональности угловых скоростей и параллаксов (обратных расстояний), то есть, равенстве линейных орбитальных скоростей этих тел в период наблюдений. Находясь втрое дальше тела B, но двигаясь перпендикулярно радиусу-вектору с той же скоростью, тело A, очевидно, имеет больший период. Аналогично, тело D имеет больший период, чем тело C, у которого вид петель на небе имеет аналогичный вид – касаются петли, разделенные двумя синодическими периодами.

Итак, практически без расчетов мы получили, что тела должны располагаться в порядке возрастания орбитальных периодов как C-B-D-A или C-D-B-A. Наиболее трудной задачей является сравнение периодов тел B и D, однако и здесь можно получить ответ без сложных измерений и вычислений.

Как мы уже говорили, линейные скорости орбитального движения тел A и B практически равны друг другу. Тем не менее, в три раза более далекое тело A, по условию задачи, движется по эллиптической орбите, то есть эта скорость не превышает параболическую скорость для расстояния rA = 3rB. На расстоянии rB эта скорость будет меньше параболической, деленной на 3 или, иными словами, меньше круговой скорости, деленной на 21/2/3. То есть, тело B в момент наблюдений находится в афелии своей орбиты, большая полуось которой меньше rB.

Тело D во время наблюдений располагается на расстоянии 3rB, и каким близким к Солнцу не был бы его перигелий, большая полуось не может быть меньше 3rB/2, что с уверенностью

превосходит величину большой полуоси тела B. Итак, правильный ответ на вопрос задачи: C, B, D, A.

В заключение приведем истинные параметры орбит тел, использовавшиеся при моделировании условия задания (текущие параметры относятся к середине интервала):

Оценка выставляется, исходя из числа правильных пар в последовательности ответа участника по алгоритму, аналогичному заданию 1.