Все задачи

Условие. Яркая комета располагается в 1.20 а.е. от Солнца. У нее появился тонкий прямой газовый хвост, направленный в пространстве точно от Солнца. Найдите максимально возможную угловую длину хвоста этой кометы в небе Земли. Орбиту Земли считать круговой.

Условие (9 класс): На графике представлены пять возможных зависимостей типичного расстояния "зоны обитания" в окрестностях звезды с фиксированной эффективной температурой от радиуса этой звезды, выраженного в радиусах Солнца. Охарактеризуйте каждую из них:

• Зависимость не может иметь место (буква A на листе ответов).
• Зависимость соответствует звезде солнечного типа (буква B на листе ответов);
• Зависимость соответствует звезде с температурой 3500 K (буква C на листе ответов);
• Зависимость не соответствует звездам указанных выше двух типов, но может соответствовать звездам с другими температурами (буква D на листе ответов).

Считать свойства потенциальной обитаемой планеты полностью идентичными Земле, среда между звездой и планетой абсолютно прозрачна, орбита планеты круговая. Считать также, что возможность жизни определяется только температурой на планете и не зависит от спектрального состава излучения звезды.

Условие (10-11 классы): На графике представлены пять возможных зависимостей типичного расстояния "зоны обитания" в окрестностях звезды фиксированного спектрального класса от радиуса этой звезды, выраженного в радиусах Солнца. Охарактеризуйте каждую из них:

• Зависимость не может иметь место (буква A на листе ответов).
• Зависимость соответствует звезде спектрального класса G2 (буква B на листе ответов);
• Зависимость соответствует звезде спектрального класса M0 (буква C на листе ответов);
• Зависимость не соответствует звездам классов G2 и M0, но может соответствовать звездам других спектральных классов (буква D на листе ответов).

Считать свойства потенциальной обитаемой планеты полностью идентичными Земле, среда между звездой и планетой абсолютно прозрачна, орбита планеты круговая. Считать также, что возможность жизни определяется только температурой на планете и не зависит от спектрального состава излучения звезды.

Условие. Полная Луна покрывает звезду μ Близнецов. Явление видно практически на всей территории России. На рисунке показаны видимые пути звезды за Луной в Москве (A, географические координаты 56°N, 38°E), Санкт-Петербурге (B, 60°N, 30°E), Екатеринбурге (C, 57°N, 61°E), Челябинске (D, 55°N, 61°E) и Новосибирске (E, 55°N, 83°E). Пути помечены цифрами 1-5, указаны моменты покрытия и выхода звезды из-за диска Луны в этих городах по Всемирному времени. Вертикальная стрелка показывает направление на Северный полюс мира. Расставьте буквы A-E напротив соответствующих цифр в листе ответов.

• 5. Условие. Плотная галактика имеет светимость ровно в $10^{10}$ раз больше, чем Солнце. При каком красном смещении z она могла бы наблюдаться визуально в телескоп с диаметром объектива 30 см? Считать размеры галактики малыми, но при этом взаимным экранированием звезд и межзвездным поглощением, а также пекулярной (не связанной с хаббловским расширением) скоростью галактики пренебречь. (О.С. Угольников)
• 5. Решение. Галактика излучает в $10^{10}$ раз или на 25 звездных величин сильнее Солнца. Ее абсолютная звездная величина M составляет $-20.2^{\rm m}$ . Определим предельную звездную величину для телескопа с диаметром объектива D=30 см, считая объект на небе точечным:

$$m = 6 + 5 \lg (D/d) = 14.5.$$

• 2. Условие. Синодический период астероида, движущегося по круговой орбите в плоскости эклиптики, равен тропическому году (365.2422 сут). Чему равен радиус его орбиты?

• 1. Условие. Далекое светило с координатами ( $\alpha$ =0, $\delta$ =0) находится на высоте 0 над горизонтом в 0ч0м по Всемирному времени 1 января. Определите координаты всех пунктов на Земле, где такое может быть. Рефракцией и уравнением времени пренебречь.

• 4. Условие. Переменная звезда пульсирует так, что температура поверхности меняется обратно пропорционально радиусу звезды. Во сколько раз должен уменьшиться объем звезды, чтобы она стала ярче на $1^{m}$ ? (О.С. Угольников)
• 4. Решение. Пусть в какой-то момент времени звезда имела радиус R и температуру T. Затем ее радиус стал меньше в K раз (R/K), а температура в соответствии с условием задачи возросла в K раз и стала равной KT. Тогда светимость звезды, пропорциональная $R^2$ и $T^4$ , изменится:

$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{(R/K)^2 (KT)^4}{R^2 T^4} = K^2.$$

• 3. Условие. Метеорный рой движется на расстоянии 1 а.е. от Солнца по параболической орбите в точности навстречу Земле. В некоторой точке Земли радиант потока располагается в зените. Определите видимые угловые скорости метеоров (в градусах в секунду) у горизонта и на высоте 45° над ним, считая их высоту равной 100 км. Атмосферную рефракцию не учитывать. (О.С. Угольников)

• 2. Условие. Синодический период астероида, движущегося по круговой орбите в плоскости эклиптики, равен тропическому году (365.2422 сут). Чему равен радиус его орбиты? (Е.Н. Фадеев)
• 2. Решение. Тропический год это промежуток времени, за который Солнце, двигаясь по эклиптике, возвращается в исходную точку, за которую обычно принимается точка весеннего равноденствия. Но сама точка равноденствия смещается по эклиптике навстречу Солнцу на 50.3″ (годовая прецессия на эклиптике). Поэтому тропический год короче периода обращения Земли вокруг Солнца.

• 1. Условие. Далекое светило с координатами (α=0, δ=0) находится на высоте 0 над горизонтом в 0ч0м по Всемирному времени 1 января. Определите координаты всех пунктов на Земле, где такое может быть. Рефракцией и уравнением времени пренебречь. (О.С. Угольников)
• 1. Решение. Указанная точка неба ни что иное, как точка весеннего равноденствия. Так как она располагается на небесном экваторе, то всюду на Земле, кроме полюсов, она восходит за 6 часов по звездному времени до своей верхней кульминации и заходит через 6 звездных часов после нее (по условию задачи, мы пренебрегаем рефракцией). То есть, условие задачи выполняется при звездном времени S, равном 6ч и 18ч.

6. Условие. Даны координаты и собственные движения звезд из созвездия Орел на текущий момент. Задано полное собственное движение и позиционный угол его направления, отсчитываемый от направления на Северный полюс мира против часовой стрелки. Нарисуйте на графике положение этих звезд в настоящий момент и 40000 лет назад, как могли бы их видеть последние неандертальцы. Найдите угловое расстояние между звездами $\alpha$ и $\beta$ Орла 40000 лет назад с точностью 0.1°. Изменение системы координат, связанное с прецессией оси вращения Земли, не рассматривайте. (Е.H. Фадеев)

• 4. Условие. Планета обращается вокруг звезды по круговой орбите с периодом ровно 10 лет, в ее небе звезда имеет угловой диаметр ровно 10' (десять угловых минут). Найдите среднюю плотность звезды. (О.С. Угольников)
• 4. Решение. Пусть масса звезды равна M, расстояние от звезды до планеты L. Тогда период обращения по круговой орбите с первой космической скоростью $\nu$ составит

$$T = \frac{2\pi L}{v} = \frac{2\pi L^{3/2}}{\sqrt{GM}}$$

• 3. Условие. Метеорный рой движется на расстоянии 1 а.е. от Солнца с гелиоцентрической скоростью 42 км/с в точности навстречу Земле. В некоторой точке Земли радиант потока располагается в зените. Определите видимые угловые скорости метеоров (в градусах в секунду) у горизонта и на высоте 45° над ним, считая их высоту равной 100 км. Атмосферную рефракцию и ускорение метеорных тел притяжением Земли не учитывать. (О.С. Угольников)

4. Условие. Перед Вами фото частного солнечного затмения (прямое изображение) и четыре фотографии изображения Солнца на непрозрачном солнечном экране, сделанные в этот же момент в этом же пункте со стороны трубы телескопа вдоль оптической оси окуляра с помощью обычного фотоаппарата в нормальном (неперевернутом) положении, см. рисунок. В телескопе используется простой однолинзовый положительный окуляр Кеплера. Отметьте, какое из этих четырех фото было сделано с использованием рефлектора системы Грегори (A), системы Кассегрена (B), системы Ломоносова-Гершеля (телескоп только с главным зеркалом и окуляром, C), а какое фото не могло быть сделано ни с одним из этих трех телескопов (D).

4. Решение. Изобразим ход лучей в каждом из трех телескопов с однолинзовым окуляром Кеплера и солнечным экраном. Будем считать, что телескоп наведен на центр Солнца, лучи от которого показаны фиолетовым цветом. Зеленые лучи идут от нижнего края Солнца.

3. Условие. Перед Вами четыре фото звезд, схожих по массе с Солнцем. Расположите их в порядке этапов эволюции звезды, от самого раннего к самому позднему. Считать, что все звезды на фото C образовались одновременно.

• 3. Решение. На фото A мы видим желтую звезду солнечного типа на главной последовательности, то есть на основной стадии эволюции. Мы можем узнать в ней нашу соседку - α Центавра, по характерному рисунку этого созвездия и располагающегося рядом Южного Креста. На фото B мы видим Арктур - α Волопаса, звезду на поздней стадии красного гиганта. Звезда на фото C располагается внутри рассеянного скопления, которое может существовать только сравнительно короткое время после образования его звезд. Наконец, на фото D мы видим звездный остаток – белый карлик внутри планетарной туманности. Ответ выглядит следующим образом: C, A, B, D.
• 3. Алгоритм оценивания. Общая оценка складывается из количества правильных пар в ответе участников. Всего возможных пар из четырех объектов шесть, в каждой из них объекты в ответе должны идти в правильном порядке. Например, для пары A-B правильным

• 2. Условие. 27 февраля 1953 года до нашей эры состоялось Великое соединение планет Меркурий (A), Венера (B), Марс (C) и Сатурн (D) поместились на небе Земли в область с диаметром 0.5°. При этом угловое расстояние планет от Солнца было максимально возможным для такого соединения, а фаза Меркурия была наименьшей из всех четырех планет. Расположите четыре планеты A, B, C, D по возрастанию их видимого диаметра на Земле в этот момент, от самого малого до самого большого.
• 2. Решение. Так как угловое расстояние планет от Солнца было наибольшим для такого соединения, мы можем сделать вывод, что самая близкая к Солнцу планета Меркурий находилась в наибольшей элонгации и одновременно в афелии своей орбиты. Пространственное расстояние Меркурия от Солнца в этот момент было равно

$$r_A = a_A (1 + e_A) = 0.467$$

• 1. Условие. Расставьте четыре города России в порядке возрастания долготы светового времени в день весеннего равноденствия: Владивосток (43°07′ с.ш., 131°54′ в.д., А), Красноярск (56°01′ с.ш., 92°52′ в.д., В), Махачкала (42°59′ с.ш., 47°00′ в.д., С), Москва (55°45′ с.ш., 37°38′ в.д., D). Рельеф и разность состояния атмосферы не учитывать. Считать световым время, в течение которого хотя бы часть диска Солнца располагается над видимым горизонтом.
• 1. Решение. Казалось бы, 20 марта это день весеннего равноденствия (или день, предшествующий ему), и световой день должен быть всюду одинаковым, около 12 часов. Однако, есть ряд факторов, которые влияют на длительность светового дня, причем поразному для четырех городов, указанных в условии. Так как эти факторы невелики, мы можем сначала оценивать их по отдельности, а потом определять суммарный эффект для каждого из случаев.

• 4. Условие. Два транснептуновых объекта находятся на расстоянии 50 и 100 а.е. от Солнца, а их альбедо равно 77% и 8% соответственно. Инфракрасный телескоп, работающий на орбите вокруг Земли в узкой спектральной полосе на длине волны 100 мкм, зафиксировал одинаковую яркость обоих тел. Определите разность их звездных величин с Земли в оптическом диапазоне. (Е.Н. Фадеев)
• 4. Решение. Расстояние до обоих тел существенно больше астрономической единицы, и их видимую яркость из окрестностей Земли можно считать такой же, как и из окрестностей Солнца. Поток энергии от Солнца на расстоянии R равен $L/4\pi R^2$ , где L светимость Солнца. Тело с радиусом r задерживает эту энергию с площади $\pi r^2$ и отражает ее часть, определяемую сферическим альбедо A. Остальная энергия идет на нагрев тела и в конечном итоге высвечивается в инфракрасной области спектра. Отсюда мы можем записать выражение для температуры далекого тела:

$$4\pi\sigma r^2 T^4 = \frac{L \cdot \pi r^2 (1-A)}{4\pi R^2};$$

$$T = \sqrt[4]{\frac{L(1-A)}{16\pi\sigma R^2}}.$$

• 2. Условие. Началом «эры Водолея» иногда называют момент, когда точка весеннего равноденствия перейдет в созвездие Водолея. «Эра» наступит в 2597 году. В какой день в настоящее время Меркурий переходит из созвездия Водолея в созвездие Рыб, если он находится при этом в наибольшей западной элонгации и одновременно – в афелии своей орбиты? Орбиту Земли считать круговой, а орбиту Меркурия – лежащей в плоскости эклиптики. (О.С. Угольников)
• 2. Решение. Эра Водолея наступит через 578 лет. Этот промежуток времени есть (578/25800) = 0.0224 часть от полного периода прецессии. За это время точка весеннего равноденствия сдвинется по эклиптике на λ = (360° · 0.0224) = 8.1°. Эту величину можно также получить, умножив величину годичной прецессии (50.3″) на 578 лет. Таким образом, в настоящее время точка пересечения границы созвездий Водолея и Рыб и линии эклиптики отстоит на угол λ к западу от точки весеннего равноденствия.

• 6. Условие. Двойная система состоит из одинаковых компонент, подобных Солнцу. На графике приведена зависимость углового расстояния между ними (в угловых секундах) в небе Земли от времени. Определите эксцентриситет орбиты, наклон плоскости орбиты к лучу зрения и расстояние до системы. (О.С. Угольников)

6. Решение. Зависимость углового расстояния между звездами характеризуется резкими минимумами, между которыми эта величина практически постоянна. Такая зависимость больше похожа на кривую блеска затменной переменной. Если же говорить об угловом расстоянии, то начать следует с вывода о том, что орбиты звезд в системе явно не круговые. Будем считать одну из звезд неподвижной, рассматривая движение второй звезды относительно первой. Очевидно, это не меняет форму орбиты. Будь эта орбита круговой, пусть даже и наклоненной к лучу зрения, в проекции на небесную сферу она представлялась бы эллипсом с центром, совпадающим с положением звезды, которую мы считаем