ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

МЕЖЗВЕЗДНЫЙ ЭКРАН

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_5d5294f11ab2683b ID p_4a92e61873a7231b
Предложить исправление

Излучение пульсара на пути к Земле проходит через тонкий рассеивающий слой (экран), расположенный на расстоянии двух третей пути до наблюдателя. В результате рассеяния на неоднородностях этого слоя к наблюдателю приходит не один луч, а множество, которые образуют интерференционную картину. Известно, что пульсар расположен на расстоянии 1 кпк от Солнца, его собственное движение равно 65 миллисекунд дуги в год. Измерения показали, что дифракционная картина движется относительно Солнца в плоскости, перпендикулярной направлению на пульсар, со скоростью 100 км/с под углом 150° к направлению движения пульсара. Определите возможные значения скорости и направления движения среды, составляющей экран.

Решение

Показать решение

Вначале определим величину тангенциальной скорости пульсара, исходя из его собственного движения μ \mu и расстояния до него D:

v P  (км/с) = 4.74 µ("/год )  D  (пк) = 308 км/с. v_P \text{ (км/с) = 4.74 µ("/год ) } D \text{ (пк) = 308 км/с.}

Введём декартову систему координат с центром в Солнце (рисунок). Ось Z направим на пульсар, ось X – параллельно тангенциальной скорости пульсара. Пусть 𝐯 0 \mathbf{v}_0 , 𝐯 P \mathbf{v}_P и 𝐯 S \mathbf{v}_S – векторы скоростей дифракционной картины, пульсара и экрана соответственно, α \alpha =150° – угол между 𝐯 0 \mathbf{v}_0 и осью X, β \beta – угол между 𝐯 S \mathbf{v}_S и осью X.

Рассмотрим движение пульсара и экрана на некотором интервале времени. Отметим, что этот интервал мал, и перемещения пульсара и экрана несопоставимо меньше их расстояния до Солнца. В этом случае линия, соединяющая пульсар и наблюдателя, все время образует очень малый угол с осью Z. Лучевые скорости экрана и пульсара не влияют на ситуацию, и мы их в расчет не принимаем.

Пусть в начальный момент времени пульсар находился на расстоянии D на оси Z. Тогда через некоторое время t его координаты будут ( v p t v_pt , 0, D). За это же время то дифракционное пятно, которое находилось в начале координат, сместится в точку с координатами ( v 0 t cos α v_0t\cos\alpha , v 0 t sin α v_0t\sin\alpha , 0). Это дифракционное пятно сформировано лучами, которые в начальный момент времени проходили через область экрана вблизи оси Z. За время t центр этой области сместился в точку ( v s t cos β v_st\cos\beta , v s t sin β v_st\sin\beta , d). Здесь d – расстояние от Земли до экрана. Очевидно, что все три точки (пульсар, центр пятна рассеяния на экране и центр дифракционного пятна) находятся на одной прямой. Спроектируем эту прямую на плоскость OXY, получив вектор 𝐮 t \mathbf{u}t . Сделаем то же самое с векторами перемещения пульсара и экрана, которые параллельны данной плоскости. Опустив постоянный множитель t, мы можем записать в векторном виде:

𝐮 = 𝐯 𝟎 − 𝐯 𝐏 . \mathbf{u} = \mathbf{v_0} - \mathbf{v_P}.

Проекция центра пятна рассеяния на экране на плоскость OXY обозначена на рисунке как 𝐁 {\bf B} . Она делит вектор 𝐮 {\bf u} на части. Из подобия треугольников имеем

b d = a + b D . \frac{b}{d} = \frac{a+b}{D}.

Из этого мы можем записать выражение для тангенциального перемещения экрана:

𝐯 S = 𝐯 0 − b a + b 𝐮 = 𝐯 0 − d D 𝐮 = D − d D 𝐯 0 + d D 𝐯 P . \mathbf{v}_{S} = \mathbf{v}_{0} - \frac{b}{a+b}\mathbf{u} = \mathbf{v}_{0} - \frac{d}{D}\mathbf{u} = \frac{D-d}{D}\mathbf{v}_{0} + \frac{d}{D}\mathbf{v}_{P}.

Отсюда мы можем вычислить скорость и направление перемещения экрана, учитывая, что D=3d, s=(D-d)/D=2/3. Разложим вектора по координатным осям:

v S cos β = D − d D v 0 cos α + d D v P ; v S sin β = D − d D v 0 sin α . v_S \cos \beta = \frac{D-d}{D} v_0 \cos \alpha + \frac{d}{D} v_P; \quad v_S \sin \beta = \frac{D-d}{D} v_0 \sin \alpha.

Разделим второе уравнение на первое:

t g β = s v 0 sin α s v 0 cos α + ( 1 − s ) v P . β = a r c t g s v 0 sin α s v 0 cos α + ( 1 − s ) v P = 37 O . tg\beta = \frac{sv_0\sin\alpha}{sv_0\cos\alpha + (1-s)v_P}. \quad \beta = arctg\frac{sv_0\sin\alpha}{sv_0\cos\alpha + (1-s)v_P} = 37^O.

Теперь возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим:

v S 2 = s 2 v 0 2 sin 2 α + s 2 v 0 2 cos 2 α + ( 1 − s ) 2 v p 2 + 2 s ( 1 − s ) v 0 v p cos α , v_S^2 = s^2 v_0^2 \sin^2 \alpha + s^2 v_0^2 \cos^2 \alpha + (1-s)^2 v_p^2 + 2s(1-s)v_0 v_p \cos \alpha,
v S = ( 1 − s ) 2 v P 2 + s 2 v 0 2 + 2 s ( 1 − s ) v P v S cos α = 56  км/c . v_S = \sqrt{(1-s)^2 v_P^2 + s^2 v_0^2 + 2s(1-s)v_P v_S \cos \alpha} = 56 \text{ км/c}.

К этому же ответу можно прийти другим способом. Предположим, что экран неподвижен. Тогда движение дифракционной картины будет определяться только движением пульсара. Дифракционная картина будет двигаться со скоростью

v p ′ = d D − d v p = 1 − s s v p . v_p' = \frac{d}{D-d}v_p = \frac{1-s}{s}v_p.

Аналогично, если пульсар покоится, а движется только экран. Тогда скорость дифракционной картины будет неизменной и составит

v S ′ = D D − d v S = 1 s v S . v_S' = \frac{D}{D-d}v_S = \frac{1}{s}v_S.

В случае, когда и пульсар, и экран движутся, смещение дифракционной картины будет векторной суммой этих двух векторов. Поскольку нам известен угол α \alpha , воспользуемся теоремой косинусов:

v S ' 2 = v 0 2 + v P ' 2 − 2 v 0 v P ′ cos ( π − α ) , v_S'^2 = v_0^2 + v_P'^2 - 2v_0 v_P' \cos(\pi - \alpha),
v S 2 s 2 & = v 0 2 + ( 1 − s ) 2 s 2 v P 2 + 2 v 0 1 − s s v P cos α , \ v S & = ( 1 − s ) 2 v P 2 + s 2 v 0 2 + 2 s ( 1 − s ) v P v S cos α = 56 κ M/c . \begin{split} \frac{v_S^2}{s^2} &= v_0^2 + \frac{(1-s)^2}{s^2} v_P^2 + 2v_0 \frac{1-s}{s} v_P \cos \alpha \;, \\ v_S &= \sqrt{(1-s)^2 v_P^2 + s^2 v_0^2 + 2s(1-s) v_P v_S \cos \alpha} = 56 \; \kappa \text{M/c}. \end{split}

Мы пришли к тому же ответу. Для нахождения угла β воспользуемся теоремой синусов:

v 0 sin β = v s ′ sin ( π − α ) = v s s ⋅ sin α , \frac{v_0}{\sin\beta} = \frac{v_s'}{\sin(\pi - \alpha)} = \frac{v_s}{s \cdot \sin\alpha},
β = arcsin ( s v 0 v s sin α ) ≈ 37 ∘ . \beta = \arcsin\left(\frac{sv_0}{v_s}\sin\alpha\right) \approx 37^{\circ}.
v 0 v_0
α \alpha
V δ V_{\delta}

Наконец, запишем третий вариант решения задачи. Уравнение прямой в пространстве в симметричной форме имеет вид

x − x 2 x 1 − x 2 = y − y 2 y 1 − y 2 = z − z 2 z 1 − z 2 . \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} = \frac{y - y_2}{y_1 - y_2} = \frac{z - z_2}{z_1 - z_2}.

Запишем в такой форме уравнение прямой, соединяющей концы векторов 𝐯 P \mathbf{v}_P и 𝐯 0 \mathbf{v}_0 , понимая под координатами с индексами 1 и 2 координаты концов векторов 𝐯 0 \mathbf{v}_0 и 𝐯 P \mathbf{v}_P , а без индекса – 𝐯 S \mathbf{v}_S :

v S cos β − v P v 0 cos α − v P = v S sin β v 0 sin α = d − D − D = D − d D = s . \frac{v_S \cos \beta - v_P}{v_0 \cos \alpha - v_P} = \frac{v_S \sin \beta}{v_0 \sin \alpha} = \frac{d - D}{-D} = \frac{D - d}{D} = s.

На самом деле, это система из двух независимых уравнений. Решая эту систему, мы придем к такому же результату, как и в первом варианте решения задачи.