ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.3 Цифровизация

Автор: М.В. Кузнецов, К.О. Чепурной

Астрономия10 класс2025ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_1ddcd0905709dc84 ID p_4e40cd17a1860a57
Предложить исправление

При помощи телескопа с диаметром = 20 см, относительным отверстием = 1/10 и ПЗС-матрицей была сделана фотография звезды. В таблице ниже указано число отсчётов (фотонов), зарегистрированное в каждом пикселе матрицы. На основании этих данных определите:

  • A. Размер одного пикселя ПЗС-матрицы.

  • B. Видимую звёздную величину звезды.

  • C. Звёздную величину фона неба (на квадратную секунду), если 60% отсчётов в пикселях фона – это тепловые шумы и шумы считывания.

КПД приемника излучения составляет 86%, потери света в оптической системе – 10%. От звезды нулевой звёздной величины поступает 106 фотонов на 1 см2 за 1 секунду. Диаметр диска атмосферного дрожания звезды составляет 1.1 ′′, длительность выдержки фотографии – 10 секунд.

1019897989910099
99981011701009997
9796766777771102100
10119079580980220299
10010278079177110095
104105981961009997
105104101104102104103

Таблица 1: Количество отсчётов

Решение

Показать решение

Решение.

Внимательно рассмотрим данную таблицу.

1019897989910099
99981011701009997
9796766777771102100
10119079580980220299
10010278079177110095
104105981961009997
105104101104102104103

Таблица 2: Количество отсчётов. Серым цветом выделены пиксели, на которые попадает изображение звезды.

Мы видим, что изображение звезды занимает на ПЗС-матрице область 3 × 3 пикселя.

То есть размер изображения звезды больше, чем один пиксель матрицы. Для этого есть сразу несколько причин. Первая причина состоит в том, что никакая оптическая система не может построить точечное изображение звезды, и размер изображения точечного объекта

определяется разрешающей способностью объектива:

θ = 1.22 λ D (рад)  или  θ ″ = 138 D (мм) \theta=1.22\frac{\lambda}{D} \; \text{(рад)} \qquad \text{ или } \qquad \theta''=\frac{138}{D \; \text{(мм)}}

Первый вариант формулы дает значение разрешающей способности объектива в радианах, и, чтобы найти ее численное значение нужно знать длину волны, на которой проводятся наблюдения. Обычно при визуальных наблюдениях используют среднее значение длины волны оптического диапазона = 550 нм или 5500 ангстрем. Можно воспользоваться и вторым вариантом формулы, который сразу дает значение разрешающей способности в угловых секундах.

Определим величину разрешающей способности объектива данного телескопа, обозначив ее как 1.

θ 1 ″ = 138 200 ≈ 0.7 ″ . \theta_1'' = \frac{138}{200} \approx 0.7''.

Вторая причина, почему изображение звезды не является точечным, это качество атмосферы или атмосферное дрожание. Величина этого эффекта задана в условии задачи и равна 1.1 ′′ . Второй эффект является в полтора раза более сильным.

Поскольку эти эффекты независимы друг от друга и величина каждого эффекта является случайной, мы можем работать с ними, как с независимыми источниками случайных ошибок. Тогда суммарный эффект определяется квадратичной суммой и будет равен

θ Σ " = θ 1 2 + θ a 2 ≈ 1.3 ". \theta_{\Sigma}^{"} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_a^2} \approx 1.3 \text{".}

Определим размер «неточечности» изображения на ПЗС-матрице, которая расположена в фокальной плоскости телескопа:

θ ∑ = l F , \theta_{\sum} = \frac{l}{F},

где – диаметр пятна в фокальной плоскости телескопа. Определим численно эту величину:

l = θ ∑ 206265 ⋅ F = 1.3 ⋅ 2 ⋅ 10 6 MKM 206265 = 12.6  MKM . l = \frac{\theta_{\sum}}{206265} \cdot F = \frac{1.3 \cdot 2 \cdot 10^6 \text{MKM}}{206265} = 12.6 \text{ MKM}.

Снова вернемся к таблице с отсчетами. Так как значения отсчетов в каждом пикселе по горизонтали и по вертикали на центральной оси изображения звезды примерно одинаковы, мы можем считать, что звезда занимает практически все 9 пикселей целиком, и диаметр звезды с хорошей точностью равен 3 пикселям. Следовательно размер одного пикселя

x = l 3 = 4.2  MKM . x = \frac{l}{3} = 4.2 \text{ MKM}.

Теперь определим звёздную величину звезды.

На первый взгляд кажется, что нам нужно просто сложить число всех фотонов, которые попали в 9 выбранных пикселей – 7062 фотона. Но давайте обратим внимание, что значение отсчетов вне изображения звезды не равно нулю, и задумаемся, а почему так? Ответ простой,

на него намекает четвертый вопрос задачи – эти отсчеты связаны с зарегистрированными фотонами от фона неба.

По пикселям вне изображения звезды легко понять, что средняя величина фона неба составляет 100 фотонов на пиксель. Следовательно, в центральных пикселях от самой звезды мы зарегистрировали 0 = 7062 − 900 = 6162 фотона.

В условии задачи сказано, что КПД приемника излучения составляет 86%, а потери света в оптической системе – 10%. Тогда число фотонов от звезды, попавших на зеркало телескопа, составит

N = N 0 0.86 ⋅ 0.9 ≈ 7960  фотонов N = \frac{N_0}{0.86 \cdot 0.9} \approx 7960 \text{ фотонов}

Давайте определим, от каких параметров зависит число фотонов, попадающих на телескоп. Для этого в условии задачи дана еще одна подсказка – от звезды нулевой звёздной величины на 1 см2 в 1 секунду поступает 106 фотонов.

Чем больше выдержка фотографии, тем больше фотонов будет зарегистрировано. Чем больше площадь зеркала (не пикселя), тем больше будет фотонов на приёмнике. Запишем эту зависимость в виде сравнения нашей звезды и звезды нулевой звёздной величины, параметры которой будем обозначать индексом – стандарт:

N 1 N s = E 1 E s Δ t 1 ⋅ S 1 Δ t s ⋅ S s \frac{N_1}{N_s} = \frac{E_1}{E_s} \frac{\Delta t_1 \cdot S_1}{\Delta t_s \cdot S_s}

где ∆ = 1 сек, а = 1 см2 . Выразив отсюда отношение освещённостей

E 1 E s = N 1 N 2 ⋅ Δ t s ⋅ S s Δ t 1 ⋅ S 1 , \frac{E_1}{E_s} = \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1},

можно через формулу Погсона получить разность звёздных величин

m 1 − m s = − 2.5 log ( N 1 N 2 ⋅ Δ t s ⋅ S s Δ t 1 ⋅ S 1 ) . m_1 - m_s = -2.5 \log \left( \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1} \right).

Подставим значения:

m 1 = 0 m − 2.5 log ( 7960 10 6 ⋅ 1  cek ⋅ 1  cm 2 10  cek ⋅ π ⋅ ( 20 / 2 ) 2  cm 2 ) = 14 m m_1 = 0^m - 2.5 \log \left( \frac{7960}{10^6} \cdot \frac{1 \text{ cek} \cdot 1 \text{ cm}^2}{10 \text{ cek} \cdot \pi \cdot (20/2)^2 \text{ cm}^2} \right) = 14^m

Наконец, определим фон неба – звёздную величину квадратной секунды неба.

Угловой размер одного пикселя составляет

γ = x F = 4.2 ⋅ 10 − 6  M 2  M = 2.1 ⋅ 10 − 6  рад = 0.43 ″ \gamma = \frac{x}{F} = \frac{4.2 \cdot 10^{-6} \text{ M}}{2 \text{ M}} = 2.1 \cdot 10^{-6} \text{ рад} = 0.43''

Нам дано по условию, что 60% отсчетов в пикселях фона – это тепловые шумы и шумы считывания, не связанные с фотонами, поступающими из внешнего пространства в оптическую систему. Значит, оставшиеся 40% отсчётов – это и есть отсчёты от фотонов, рассеянных атмосферой Земли, которые и создают фон неба. Значит, в каждый пиксель поступает 40 отсчётов от фона неба. А число таких фотонов, полученных оптической системой, равно

N 2 = 40 0.86 ⋅ 0.9 ≈ 52  фотона на пиксель N_2 = \frac{40}{0.86 \cdot 0.9} \approx 52 \text{ фотона на пиксель}

Аналогично рассуждениям выше, определим звездную величину, которую создают фотоны фона, попавшие в один пиксель:

m f = 19.5 m m_f = 19.5^m

Теперь эту величину надо привести к угловой площади неба в 1 квадратную секунду. Одна сторона пикселя имеет угловой размер 0.43′′. Значит, его угловая площадь – 0.18 2′′. Угловая площадь участка неба, фотоны которого попадают на этот пиксель, будет ровно такая же. Следовательно, поверхностная звёздная величина фона будет равна

m □ ″ = m f + 2.5 lg S = 17.7 m / □ ″ m_{\square''} = m_f + 2.5 \lg S = 17.7^m / \square''

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.15
К1.Определение разрешающей способности объектива1
К2.Определение разрешающей способности телескопа с учетом атмосферы2
Если используется модель с выбором большей разрешающей способности1
К3.Определение линейного масштаба «пятна» звезды1
К4.Определение величины одного пикселя1
К5.Определение общего числа фотонов от звезды без фона2
Число фотонов в 9 пикселях1
Определение средней величины фона неба, вычет фона неба 1
К6.Определение звёздной величины звезды4
Учет потерь в приёмнике и оптической системе 1
Запись зависимости числа фотонов 1
Получение выражения для звёздной величины 1
𝑚 1
0.2
Итоговый численный ответ с точностью
К7.Определение звёздной величины фона неба4
Определение числа фотонов фона на пиксель 2
Определение угловой площади участка на небе, соответствующего 1-му пикселю . 1
𝑚 1
0.2
Итоговый численный ответ с точностью