ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ВНУТРИ ГАЛАКТИКИ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2019ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_8a3921fdf63cc3a9 ID p_4e6df88bd6d31d54
Предложить исправление
    1. Условие. Эллиптическая галактика типа ЕО (шарообразная форма) на 20% по массе состоит из звезд солнечного типа и на 80% - из темной материи. Плотность обеих составляющих постоянна на всем объеме галактики. Некоторая звезда движется по замкнутой траектории внутри галактики, не вылетая за ее пределы, с периодом 100 миллионов лет. Сколько всего звезд было бы видно невооруженным глазом в небе обитаемой планеты, обращающейся вокруг этой звезды? Тесные сближения с другими звездами не учитывать.

Решение

Показать решение
    1. Решение. Как известно, для сферического однородного массивного тела выполняется свойство: на материальную точку, расположенную внутри нее, действует притяжение всех частей тела, расположенных ближе к центру, нежели эта точка, а действие внешних слоев компенсируется. Таким образом, на тело, расположенное на расстоянии r от центра, будет действовать ускорение тяготения:
g = − 4 π G ρ r 3 . g = -\frac{4\pi G \rho r}{3}.

Знак "-" означает, что ускорение направлено к центру, противоположно радиусу-вектору г. Мы получили уравнение, похожее на уравнение пружинного маятника, возвращающая сила которого противоположна по знаку и пропорциональна по величине смещению груза маятника относительно равновесного положения: a = − ω 2 r a = -\omega^2 r , здесь ω \omega – частота колебаний маятника. В таком поле тяжести звезда будет совершать движение с постоянным периодом, не зависящим от начального положения. Колебания могут происходить и в двух взаимноперпендикулярных направлениях, и тогда звезда будет описывать эллипс, но центр галактики будет уже не в фокусе, а в центре этого эллипса. Период колебаний будет равен

T = 2 π ω = 2 π 3 4 π G ρ . T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}.

Отсюда мы получаем соотношение для полной плотности галактики:

ρ = 3 π G T 2 = 1.4 ⋅ 10 − 20  kg/m 3. \rho = \frac{3\pi}{GT^2} = 1.4 \cdot 10^{-20} \text{ kg/m}^3.

Учтем далее, что на звезды приходится лишь доля η \eta (0.2) от этой плотности и найдем концентрацию звезд солнечного типа в этой галактике n:

ρ ⋅ η = n ⋅ M ; n = ρ ⋅ η M = 3 π η G M T 2 = 1.4 ⋅ 10 − 51  m − 3 = 0.041  mk − 3 . \rho \cdot \eta = n \cdot M; \quad n = \frac{\rho \cdot \eta}{M} = \frac{3\pi \eta}{GMT^2} = 1.4 \cdot 10^{-51} \text{ m}^{-3} = 0.041 \text{ mk}^{-3}.

3десь M - масса Солнца. Определим, с какого расстояния r 0 r_0 Солнце, имеющее абсолютную звездную величину m 0 m_0 (+4.7) будет выглядеть как звезда с m=+6:

lg r 0 = m − m 0 5 + 1 ; r 0 = 18.2  nk. \lg r_0 = \frac{m - m_0}{5} + 1; \quad r_0 = 18.2 \text{ nk.}

Искомое число звезд есть их число внутри сферы с найденным радиусом:

N = 4 π n r 0 3 3 ≈ 1000. N = \frac{4\pi n r_0^3}{3} \approx 1000.

Критерии

Показать критерии

3. Система опенивания.

Этап 1 - 3 балла. Установление связи между периодом вращения звезды и плотностью галактики, определение плотности.

Участники могут идти путем, описанным выше, и в этом случае этап при условии правильного выполнения оценивается полностью (3 балла). Они могут предположить, что орбита звезды круговая и произвести расчет по стандартным формулам небесной механики, учитывая только внутреннюю часть галактики. Тогда за этап выставляется 2 балла, но последующие этапы оцениваются в полной мере.

Этап 2 - 2 балла. Определение концентрации звезд в галактике.

Требуемая точность 10%.

Вероятная ошибка при решении: участник забывает о темной материи, завышая концентрацию звезд в 5 раз. В этом случае не засчитывается данный этап, а также финальный этап (запись ответа).

Этап 3 - 2 балла. Нахождение максимального расстояния до звезды, видимой невооруженным глазом.

В качестве предельной звездной величины для невооруженного глаза могут браться значения от 5.5 m 5.5^{\rm m} до 6.5 m 6.5^{\rm m} , что не является ошибкой. В остальных расчетах точность должна быть не хуже 10%.

Этап 4 - 1 балл. Определение числа звезд, видимых в небе планеты.

Засчитывается в случае правильных выполнений предыдущих этапов. Отличие ответа от приведенного выше может быть вызвано только другим заданием предельной звездной величины на этапе 3, во всех остальных случаях при отклонениях ответа более, чем на 20%, этап не засчитывается. Участники могут найти число звезд, видимых в один момент с одной точки поверхности планеты и получить число около 500, что также засчитывается при условии соответствующего описания найденной величины.

Вероятная ошибка при решении: попытка учета межзвездного поглощения света в галактике, которое при описанном условии отсутствует. Оценка определяется точностью выполнения всех этапов и далее уменьшается на 2 балла.