10.2 ОСТАЛАСЬ ЛИШЬ ТЕНЬ…

• 2. Решение. Кольцо Сатурна очень тонкое и расположено в плоскости экватора этой планеты. Если мы введем систему небесных координат на Сатурне аналогично той, что мы используем на Земле, то в описанный в условии задачи момент склонение Земли равно нулю. Для Сатурна Земля – внутренняя планета, не уходящая на небе далеко от Солнца. Если в данный момент склонение Солнца тоже оказалось бы нулевым, то в рамках условия задания тень имела бы пространственную толщину 1 км, что с расстояния Земли соответствовало бы углу всего в 0.00015, что совершенно невозможно было бы увидеть. Даже с учетом реальных размеров Солнца тень бы просто не появилась. Тем не менее, она часто оказывается заметной. Это связано с тем, что склонение Солнца в этот момент может быть отлично от нуля, и тогда оно не будет находиться в плоскости кольца и может дать эффект тени ощутимой толщины.

По условию задачи, мы пренебрегаем углом наклона орбиты Сатурна к плоскости орбиты Земли. В реальности этот угол равен 2.5, что может показаться большим. Но Земля, расположенная примерно в 10 раз ближе к Солнцу, чем Сатурн, будет отклоняться от «сатурнианской» эклиптики в его небе всего на 0.25, что не является основным фактором. Главным будет различие склонений Земли и Солнца за счет их разного положения на самой эклиптике Сатурна. Обратим внимание, что наклон экватора Сатурна к плоскости его орбиты = 26.73 значителен и превышает аналогичный угол для Земли.

Очевидно, в случае совпадения плоскостей орбит максимальная разность склонений будет достигаться, если Земля в небе Сатурна находится в наибольшей элонгации, а Сатурн в небе Земли – в квадратуре. Максимальное угловое расстояние между Землей и Солнцем составляет

Закрыть

где a⁰ и a – радиусы орбит Земли и Сатурна. Тогда модуль склонения Солнца может быть равен

Закрыть

В этом случае кольцо отбросит на поверхность Сатурна тень шириной

В момент квадратуры расстояние между Землей и Сатурном равно

Угловая ширина полосы тени равна

2. Система оценивания.

1 этап – 3 балла. Правильное представление, за счет чего тень колец на Сатурне в указанный момент может стать видимой и иметь заметную толщину. Должно быть четко указано, что это может быть при максимальном угловом удалении Земли от Солнца в небе Сатурна (наибольшая элонгация Земли на Сатурне и/или квадратура Сатурна на Земле).

Возможная ошибка при выполнении решения: указание угла наклона орбиты Сатурна к плоскости эклиптики (около 2.5°) как основного фактора. Если эта величина напрямую приравнивается к склонению Солнца на Сатурне, то в итоге участник может прийти к ответу, близкому к правильному. Однако, в реальности влияние этого эффекта на склонение Солнца в 10 раз меньше, более того, в условии указано, что этот эффект рассматривать не нужно.

Если участник рассматривает только его без учета смещения Солнца от Земли вдоль «эклиптики» Сатурна, то ему полностью не засчитывается как этот этап, так и два последующих. Если фактор смещения Солнца вдоль эклиптики также учтен, а фактор наклона завышен в 10 раз, то это дает вдвое больший итоговый ответ. В этом случае первый этап решения не засчитывается (0 баллов), остальные оцениваются, исходя из их выполнения, с учетом других ответов, которые должны быть получены. Наконец, если фактор наклона орбит учтен в правильном масштабе, что приводит к увеличению итогового ответа на 10% — оценка за 1 этап уменьшается на 1 балл, так как в условии в явном виде сказано, что этот эффект не должен учитываться.

Этап 2 – 2 балла. Определение максимально возможного углового расстояния между Солнцем и Землей в небе Сатурна, точность $0.2^{\circ}$ . Численная оценка углового расстояния

может не делаться, полученное для него соотношение переводится сразу в следующий этап решения, что также допустимо и оценивается полностью в случае правильной формулы для данной величины.

Этап 3 – 1 балл. Нахождение максимального модуля склонения Солнца, точность 0.1. Аналогично предыдущему этапу, данный может быть выполнен численно или в виде формулы, которая используется на следующих этапах.

Возможная ошибка при решении*:* использование неверного значения угла (например, взятие величины для Земли). Этап не засчитывается, остальные оцениваются, исходя из их выполнения.

Этап 4 – 2 балла. Определение пространственной ширины полосы тени, точность 50 км.

Возможная ошибка при решении*:* использование внешнего радиуса кольца Сатурна вместо разности внешнего и внутреннего радиуса, то есть фактически предположение, что кольцо Сатурна начинается с его поверхности. Этап не засчитывается полностью, без влияния на последующий этап.

Этап 5 – 2 балла. Определение угловой ширины полосы тени, точность 0.02. Ответ 0.3 считается правильным.

Вероятная ошибка*:* расстояние от Земли до Сатурна берется не для квадратуры, а для другой конфигурации (например, противостояния). Эффект изменяет итоговый ответ примерно на 5% и может вывести его за рамки требуемой точности. Оценка уменьшается на 1 балл.