ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ДАЛЕКАЯ ПЛАНЕТА

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_50fc744343a4e019 ID p_51ca158202bb248b
Предложить исправление

Около звезды с массой, равной массе Солнца, был обнаружен темный спутник. В некоторой обсерватории с интервалом ровно в 1 сутки производились одновременные измерения видимой звездной величины и гелиоцентрической лучевой скорости звезды, результаты представлены на графиках. Определите радиус звезды, массу и радиус спутника. Считать, что наблюдатель располагается в плоскости круговых орбит системы, а оба тела имеют сферическую форму. Других массивных тел в этой системе нет. Эффект потемнения звезды к краю не учитывать. Что из себя представляет эта звезда и чему равно расстояние до нее?

Решение

Показать решение

На первый взгляд, графики достаточно четко создают представление об этой системе. Наличие спутника приводит к двум эффектам – кратковременному падению блеска звезды в тот момент, когда темный спутник оказывается перед ней, а также синусоидальному изменению лучевой скорости звезды, связанному с ее движению относительно общего центра масс. Можно предположить, что орбитальный период составляет как раз 80 суток. Однако, более внимательный анализ показывает, что это не соответствует действительности.

Рассмотрим момент, соответствующий затмению звезды (момент времени 40 суток на графике), изображенный на рисунке цифрой 1. В это время оптическая звезда находится в наиболее удаленной от Земли точке орбиты. После затмения она должна начать приближаться к наблюдателю, что означает уменьшение ее лучевой скорости. Однако, последующие точки на кривой лучевой скорости, если не учитывать их погрешность, оказываются выше, то есть соответствуют удалению оптической звезды от наблюдателя.

Данное противоречие снимается, если вспомнить, что все наблюдения производились с интервалом ровно в 1 сутки. Коль скоро последующие за затмением (40 суток) измерения соответствуют большей лучевой скорости, на них система оказывается в предшествующей фазе (начало затмения или незадолго до него). Следовательно, за 1 сутки система почти успевает сделать N целых оборотов, приближаясь уже к следующему затмению (случай N=1 показан на рисунке).

К моменту следующего наблюдения через время t (1 сутки) система не успела завершить (1/K) целого оборота, где K=80. Тогда орбитальный период выражается как:

T = t N − ( 1 / K ) ≈ t N . T = \frac{t}{N - (1/K)} \approx \frac{t}{N}.

Целое число N заранее неизвестно. Определим другие характерные параметры системы. Предположив, что масса спутника меньше массы звезды (в дальнейшем мы сможем это проверить), которая сама равна массе Солнца, из III закона мы получаем величину радиуса орбиты спутника:

a = ( T , 200 ы ) 2 / 3 = 3  млн км /  N 2 / 3 . a = (T, 200ы)^{2/3} = 3 \text{ млн км / } N^{2/3}.

Звездная величина вне затмений составляет m 0 = 7.505 m_0 = 7.505 , во время затмений она уменьшается до m 1 = 7.516 m_1 = 7.516 . Так как наблюдатель находится точно в плоскости орбиты системы, а яркость звезды однородна по диску, мы можем получить соотношение радиусов компонент:

m 0 − m 1 = 2.5 log ( π R 2 − π r 2 π R 2 ) = 2.5 ln ( 1 − r 2 / R 2 ) ln 10 = − 2.5 ln 10 r 2 R 2 ; m_0 - m_1 = 2.5 \log \left( \frac{\pi R^2 - \pi r^2}{\pi R^2} \right) = 2.5 \frac{\ln(1 - r^2 / R^2)}{\ln 10} = -\frac{2.5}{\ln 10} \frac{r^2}{R^2};
r R = ln 10 ⋅ ( m 1 − m 0 ) 2.5 ≈ 0.92 ( m 1 − m 0 ) = 0.1. \frac{r}{R} = \sqrt{\frac{\ln 10 \cdot (m_1 - m_0)}{2.5}} \approx \sqrt{0.92(m_1 - m_0)} = 0.1.

Спутник в 10 раз меньше звезды по радиусу. Далее, из K=80 измерений через равные интервалы времени k=6 пришлись на затмения. Следовательно, длительность затмения есть примерно k/K от орбитального периода T. За весь период спутник пролетает путь 2 π a 2\pi a , а за время затмения — диаметр главной звезды (мы вновь считаем спутник много меньшим звезды как по размерам, так и по массе). Тогда мы получаем величину радиуса звезды:

2 R 2 π a = k K ; R = π a k K = 700  mыс.км N 2 / 3 . \frac{2R}{2\pi a} = \frac{k}{K}; \quad R = \frac{\pi ak}{K} = \frac{700 \text{ mыс.км}}{N^{2/3}}.

Итак, если предположить, что за одни сутки система почти завершила один оборот, то радиус звезды получается равным радиусу Солнца. Учитывая, что по массе звезда также схожа с Солнцем, это представляется наиболее вероятным вариантом. Действительно, подстановка N=2 дает радиус в 0.63 радиуса Солнца. Подобных звезд с солнечной массой не существует, так как звезда солнечной массы не может иметь подобный радиус ни на каких стадиях своей эволюции. Даже редкие типы звезд - субкарлики - при солнечной массе имеют больший радиус. Такие же выводы можно сделать и для больших N. Единственный альтернативный вариант, который можно считать теоретически возможным — белый карлик с радиусом порядка радиуса Земли, и тогда N ∼ 1000 N\sim1000 . Хоть это и представляется крайне маловероятным для затменной системы, мы рассмотрим этот вариант наряду с основным в дальнейшем решении.

Амплитуда изменений лучевой скорости звезды v (ее отклонение от среднего значения) составляет 0.2 ~ k m / c 0.2~{\rm km/c} . Учитывая ориентацию орбиты, это есть сама орбитальная скорость звезды. Радиус орбиты звезды составляет

A = v T 2 π = 3000  km N . A = \frac{vT}{2\pi} = \frac{3000 \text{ km}}{N}.

Зная радиусы орбит звезды и спутника, мы получаем соотношение их масс:

m M = A a = 3000  км N ⋅ N 2 / 3 3  млн км = 0.001 N 1 / 3 . \frac{m}{M} = \frac{A}{a} = \frac{3000 \text{ км}}{N} \cdot \frac{N^{2/3}}{3 \text{ млн км}} = \frac{0.001}{N^{1/3}}.

Если вспомнить о варианте белого карлика (N~1000), то спутник будет представлять собой тело с массой 10 − 4 10^{-4} массы Солнца. При этом его радиус в 10 раз меньше радиуса звезды, то есть около 600 км! В настоящее время таких плотных маломассивных объектов во Вселенной не найдено, более того, непонятно, как они могли бы появиться. Поэтому правдоподобным остается лишь вариант N=1, при котором звезда оказывается копией Солнца, а ее спутник в 10 раз меньше по размеру и в 1000 раз меньше по массе. Он очень похож на планету Юпитер. Можно показать, что несмотря на близость к звезде, он будет устойчивым к приливным силам, которые будут более чем в 10 раз слабее, чем это требуется для разрыва планеты.

Нам остается найти расстояние до системы. Учитывая, что звезда похожа на Солнце (абсолютная величина + 4.7 m +4.7^{\rm m} ), а ее видимый блеск равен + 7.5 m +7.5^{\rm m} , мы можем заключить, что система отстоит от нас на 35 пк.