ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЭКВАТОР, ТРОПИК И ПОЛЯРНЫЙ КРУГ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2014ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_2f26582ffd015a31 ID p_52fadd9541d194ea
Предложить исправление

1 На некоторой планете сферической формы длины экватора и тропика относятся так же, как и длины тропика и полярного круга. Определите максимально возможную высоту одиночной центральной звезды на полярном круге. Угловыми размерами центральной звезды и рефракцией пренебречь.

Решение

Показать решение

Широты тропика и полярного круга по модулю составляют

φ 1 = ε ; φ 2 = 90 ∘ − ε . \varphi_1 = \varepsilon; \quad \varphi_2 = 90^\circ - \varepsilon.

Здесь ε \varepsilon — угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты планеты. Если длину окружности экватора обозначить через L 0 L_0 , то длины окружности тропика и полярного круга будут равны

L 1 = L 0 cos φ 1 = L 0 cos ε , L_1 = L_0 \cos \varphi_1 = L_0 \cos \varepsilon,
L 2 = L 0 cos φ 2 = L 0 sin ε . L_2 = L_0 \cos \varphi_2 = L_0 \sin \varepsilon.

Из условия задачи

L 0 L 1 = L 1 L 2 ; 1 cos ε = cos ε sin ε . \frac{L_0}{L_1} = \frac{L_1}{L_2}; \quad \frac{1}{\cos \varepsilon} = \frac{\cos \varepsilon}{\sin \varepsilon}.

Данная пропорция может быть переписана как 1 − sin 2 ε = sin ε 1 - \sin^2 \varepsilon = \sin \varepsilon . Квадратное уравнение имеет один корень на интервале [0..1]:

sin ε = 5 − 1 2 = 0.618 ; ε = 38 ∘ . \sin \varepsilon = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 0.618; \quad \varepsilon = 38^{\circ}.

Высота центральной звезды на полярном круге будет максимальной в день солнцестояния (летнего для данного полушария) и составит

h = 90 ∘ − φ 2 + ε = 2 ε = 76 ∘ . h = 90^{\circ} - \varphi_2 + \varepsilon = 2\varepsilon = 76^{\circ}.