ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ФОКУС В ТОЧКЕ ЛАГРАНЖА

Автор: С.Б. Борисов

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_7fa360e474549e37 ID p_5398de7f23ba347e
Предложить исправление

Планета обращается вокруг звезды с массой M по круговой орбите с радиусом R. С нее стартует космический аппарат. Он выходит на эллиптическую орбиту вокруг звезды, у которой точка старта является апоцентром, а второй фокус (свободный от звезды) совпадает

с текущим положением внутренней точки Лагранжа L 1 L_1 системы "планета-звезда". При каком отношении масс планеты и звезды (m/M<1) аппарат сможет без коррекций орбиты быстрее всего вернуться к планете? Взаимодействие аппарата с планетой не учитывать.

Решение

Показать решение

Для начала определим расстояние точки Лагранжа L 1 L_1 от планеты r. В этой точке физическое тело может вращаться вокруг звезды с той же угловой скоростью ω \omega , что и планета. Запишем уравнения движения этого тела и планеты:

ω 2 ( R − r ) = G M ( R − r ) 2 − G m r 2 ; ω 2 R = G M R 2 . \omega^2(R-r) = \frac{GM}{(R-r)^2} - \frac{Gm}{r^2}; \quad \omega^2 R = \frac{GM}{R^2}.

Вычтем из второго уравнения первое:

G M r R 3 = G m r 2 + ( G M R 2 − G M ( R − r ) 2 ) . \frac{GMr}{R^3} = \frac{Gm}{r^2} + \left(\frac{GM}{R^2} - \frac{GM}{(R-r)^2}\right).

Воспользовавшись формулами для приближенного вычисления, получаем

G M r R 3 = G m r 2 − 2 G M r R 3 . \frac{GMr}{R^3} = \frac{Gm}{r^2} - \frac{2GMr}{R^3}.

В итоге имеем:

r = R ⋅ ( m 3 M ) 1 / 3 . r = R \cdot \left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.

Коль скоро масса планеты меньше массы звезды, точка 𝐋 1 \mathbf{L}_1 располагается недалеко от планеты. Орбита аппарата — эллиптическая. Апоцентр орбиты аппарата — единственная ее точка, где он может вернуться к планете. Наиболее быстрое возвращение может случиться через один оборот планеты, когда она сама окажется в этой точке. Тогда орбитальный период аппарата t должен быть равен T/N, где T — орбитальный период планеты, а N — натуральное число. Считая массу планеты малой по сравнению с массой звезды и не учитывая взаимодействие аппарата с планетой, получаем выражение для большой полуоси орбиты аппарата

a = R ⋅ ( 1 N ) 2 / 3 . a = R \cdot \left(\frac{1}{N}\right)^{2/3}.

Физический смысл имеет только случай с N=2, так как уже при N=3 мы получим значение a, меньшее R/2, что невозможно для апоцентра аппарата на расстоянии R. Исходя из расстояния в апоцентре, получаем значение эксцентриситета орбиты:

e = R a − 1 = 2 2 / 3 − 1 = 0.59. e = \frac{R}{a} - 1 = 2^{2/3} - 1 = 0.59.

Точка L 1 L_1 является фокусом эллипса, и a(1-e)=r:

R ⋅ ( 2 1 / 3 − 1 ) = R ⋅ ( m 3 M ) 1 / 3 . R \cdot (2^{1/3} - 1) = R \cdot \left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.

Отсюда получаем соотношение масс планеты и звезды

m M = 3 ⋅ ( 2 1 / 3 − 1 ) 3 ≈ 0.05. \frac{m}{M} = 3 \cdot (2^{1/3} - 1)^3 \approx 0.05.

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задачи разбивается на несколько этапов, которые могут выполняться в произвольной последовательности.