10.2 Минутное замешательство

Решение. Сразу отметим, что Луна находится в точке осеннего равноденствия, ведь её наклонением по условию следует пренебречь. Она обгоняет Солнце по прямому восхождению, поэтому освещённая часть направлена со стороны уменьшения прямого восхождения, то есть увеличения часового угла. Именно в сторону увеличения часового угла двигается Луна, то есть действительно первым делом будет восходить освещённая часть Луны.

Закрыть

На рисунке проведены эклиптика, небесный экватор, терминатор луны, который перпендикулярен направлению на Солнце — эклиптике. Разберём ситуацию в общем случае. Для угла между небесным экватором и горизонтом важен модуль широты. Отметим, что угол между терминатором и горизонтом в любом случае равен | − |, модуль важен для тропических широт, где широта меньше 23.5 ∘ .

Обозначим за путь, который прошла Луна вдоль экватора от начала восхода до момента, когда терминатор впервые коснулся горизонта; за обозначим угловой радиус Луны. Отрезок равен , так как это расстояние между линией параллельной горизонту в момент начала восхода Луны и горизонтом. С другой стороны, он равен сумме проекций двух отрезков: и . Эти проекции соответственно равны = sin(| − |) и = sin(90^∘ − ||). Запишем формулами то, что мы упомянули выше про отрезок :

Подставим конкретные параметры. Мы не знаем расположение Луны относительно линии апсид, но знаем минимальное $r_{\rm min}=356\,410\,{\rm km}$ и максимальное $r_{\rm max}=406\,700\,{\rm km}$ расстояния до Земли и радиус Луны $R=1738\,{\rm km}$ . В таком случае

Здесь и далее мы используем обозначение $a \div b$ для величины в диапазоне от a до b.

Учтём, что угловая скорость движения Луны меньше, чем у далёких звёзд. Их угловая скорость $\omega_0 = 15.04\,^\circ/\text{ч}$ . Посчитаем угловую скорость в минимальном и максимальном расстоянии по формулам

Мы здесь брали средний эксцентриситет, учёт его отклонений мало влияет на итоговый ответ. Теперь запишем выражение для пройденного пути и введем параметр k

Перепишем соотношение

Нам осталось исследовать корни этого уравнения. Самое время учесть конкретные ограничения из условия: северное полушарие и $\varphi > \varepsilon$ , следовательно $|\varphi - \varepsilon| = \varphi - \varepsilon$ , $|\varphi| = \varphi$ и уравнение примет вид

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Домножим наши выражения на некоторую константу D так, чтобы у нас получилось выражение с углом $\theta$ .

Подберём константу так, чтобы выполнялось основное тригонометрическое тождество

Теперь сам угол, его

Мы получили уравнение

Нам подходят все корни для модуля широты, которая равна своему модулю. Если аккуратно проследить за тем, чему соответствуют границы диапазонов, получаем, что в случае минуса соответствующие вариации усиливают друг друга, и диапазон одного из ответов $34.2^{\circ} \div 49.3^{\circ}$ . В случае плюса, вариации наоборот, компенсируют друг друга, из-за чего разброс сильно меньше, и его можно оценить как $77.5^{\circ} \div 80.4^{\circ}$ (в действительности же диапазоны будут соответственно $33.5^{\circ} \div 50.1^{\circ}$ и $76.4^{\circ} \div 80.8^{\circ}$ ; расхождения вызваны лишь ошибками округления, тем не менее наше замечание про разницу разбросов оказывается совершенно верным).