ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.9 Пара звезд

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный9 класс2026Есть решение редакция rv_6fc5db6f029f29a4 ID p_67cb86c8e1c323a5
Предложить исправление

Два компонента физически двойной звезды имеют одинаковые эффективные температуры, а их абсолютные звездные величины отличаются на 10. Известно, что ускорение свободного падения в фотосфере менее яркой звезды в 500 раз больше, чем у более яркой. Определите отношение масс звезд.

Решение

Показать решение

Решение. По определению звездной величины, если освещенность, создаваемая двумя звездами, отличается в 100 раз, то звездные величины этих звезд отличаются на 5. Таким образом, освещенность, создаваемая компонентами двойной, отличается в 1002 = 10000 раз. К этому же выводу можно прийти с помощью формулы Погсона. Обозначим как 1 и 2 освещенности, создаваемые двумя компонентами, а 1 и 2 — их звездные величины. Предполагая, что компонент 1 ярче, получим

L 1 L 2 = 10 − 0.4 ( m 1 − m 2 ) = 10 − 0.4 ⋅ ( − 10 ) = 10 4. \frac{L_1}{L_2} = 10^{-0.4(m_1 - m_2)} = 10^{-0.4 \cdot (-10)} = 10^4.

Поскольку обе звезды располагаются на одинаковом расстоянии от нас, отношение освещенностей равно отношению светимостей 1 и 2. Светимость звезды связана с ее радиусом и эффективной температурой законом Стефана — Больцмана:

L = 4 π R 2 σ T 4. L = 4\pi R^2 \sigma T^4.

Сами светимости нам неизвестны, известно только их отношение. Поэтому запишем закон Стефана — Больцмана для обеих звезд и разделим одно выражение на другое. Тогда, учитывая равенство температур звезд, получим

L 1 L 2 = ( R 1 R 2 ) 2 = 10 4. \frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = 10^4.

Ускорение свободного падения на поверхности звезды задается формулой

g = G M R 2 , g = \frac{GM}{R^2},

где — масса звезды. Поскольку нам известны только отношения радиусов и ускорений свободного падения, как и раньше, перепишем это уравнение в виде отношения:

g 1 g 2 = M 1 M 2 ( R 1 R 2 ) − 2 . \frac{g_1}{g_2} = \frac{M_1}{M_2} \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{-2}.

Выразим отсюда искомое отношение масс и получим численный ответ:

M 1 M 2 = g 1 g 2 ( R 1 R 2 ) 2 = 1 500 ⋅ 10 4 = 20. \frac{M_1}{M_2} = \frac{g_1}{g_2} \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{1}{500} \cdot 10^4 = 20.

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.16
К1.Определение отношения освещенностей5
Запись формулы Погсона или определения звездной величины1
В отсутствие дальнейшего продвижения за этот этап выставляется не более 1 балла.
Правильный численный ответ 4
К2.Определение отношения радиусов5
Обоснованный вывод о равенстве отношения светимостей и освещенностей 1
Балл не выставляется, если это равенство не объяснено явно.
Запись закона Стефана — Больцмана 1
Верное значения отношения радиусов или их квадратов 3
К3.Определение отношения масс4
Формула ускорения свободного падения1
Вывод формулы для отношения масс 3
К4.Правильный численный ответ2
При ответе в 5 млн раз за K3 выставляется не более 1 балла, а за K4 — 0 баллов