КАРМАННЫЙ ПЛАНЕТАРИЙ

АстрономияКлассы неизвестны2019 Теоретическая Есть решение редакция rv_a6009b2883add011 ID p_6c6914a3322308ce

5. Условие. Один астроном решил сделать себе свой собственный планетарий, просверлив отверстия нужного размера в глобусе радиусом 20 см, в центр которого он установил точечный источник света. Оцените размер отверстия в глобусе, при котором размер проецируемой звезды перестанет сокращаться с уменьшением диаметра отверстия. Пусть такой диаметр соответствует самым слабым звездам, видимым невооруженным глазом. Считая, что относительная яркость звезд должна сохраняться, определите размер отверстия для самой яркой звезды ночного неба, Сириуса, имеющего звездную величину –1.5^m, и угловой размер его изображения. Звезды какой звездной величины сидящий рядом с планетарием астроном увидит, как точки?

Решение

Показать решение

5. Решение. Для начала рассчитаем угловой размер звезды для наблюдателя, расположенного в центре шара. Без учета дифракции света он будет равен отношению диаметра отверстия d к радиусу глобуса R:

\alpha = \frac{d}{R}.

Если бы распространение света всегда подчинялось правилам геометрической оптики, угловой размер сокращается вплоть до нуля при уменьшении отверстий. Будем называть эту величину «геометрическим» размером звезды.

На самом деле, дифракция света на краях апертуры вносит ограничение на минимальный угловой размер изображения:

\beta \approx \frac{\lambda}{d}.

Данное равенство имеет приближенный характер, так как пучок света, падающий на отверстие, не параллельный. По этим же причинам мы можем опустить коэффициент 1.22 в этой формуле. В итоге, дифракционный размер звезды увеличивается с диаметром отверстия.

Определим диаметр отверстия, при котором геометрический и дифракционный угловые размеры равны. В этом случае видимый размер звезды перестает уменьшаться, а напротив увеличивается с дальнейшим сужением отверстия:

\frac{d}{R} = \frac{\lambda}{d}.

Отсюда

d = \sqrt{\lambda R} \approx 0.3 \text{ mm.}

При вычислениях мы брали длину волны $\lambda$ =550 нм, соответствующую максимуму чувствительности человеческого глаза. При таком радиусе отверстия оба фактора примерно одинаковы и накладываются друг на друга. Можно считать, что видимый размер изображения в этом случае будет примерно равен сумме геометрического и дифракционного:

\theta \approx \alpha + \beta = 2\frac{d}{R} = 2\frac{\lambda}{d} \approx 0.003 \text{ рад = 10′.}

Именно в таком конусе будет распределен свет от самого маленького отверстия, соответствующего звездам шестой звездной величины (самым слабым наблюдаемым невооруженным глазом звездам). Это существенно больше разрешения человеческого глаза,

так что, к сожалению, такой самодельный планетарий вообще не сможет построить достаточно точечных звезд. Естественно, что более ярких звезд размеры будут еще больше.

Видимая суммарная яркость звезды определяется размером отверстия, дифракция на нее практически не влияет. Сириус ярче звезд шестой величины в $2.512^{6+1.5}$ =1000 раз, и для такой звезды размер отверстия для него должен быть

d_{s} = d\sqrt{1000} \approx 10 \text{ MM}.

Это соответствует угловому размеру

\theta_{\rm S} = \frac{d_{\rm S}}{R} \approx 0.05 \text{ рад} = 3^{\circ}.

Здесь дифракция уже не играет никакой роли.

Критерии

Показать критерии

5. Система оценивания.

Этап 1 – 4 балла. Расчет оптимального диаметра отверстия.

Этап включает в себя определение «геометрического» размера (1 балл), определение «дифракционного» размера (1 балл, наличие коэффициента 1.22 не влияет на оценку), определение оптимального размера отверстия (2 балла). Неточности определения каждого из факторов, не превосходящие 2 раз, приводят к снятию соответствующего количества баллов. Если же один из факторов не учтен, то понятие минимального видимого диаметра теряет смысл. Вне зависимости от иных методов оценить его (расчеты яркости пятна с учетом мощности ламп и т.д.) этап полностью не засчитывается. Последующие этапы оцениваются в полной мере, если полученное значение видимого диаметра не отличается от правильного более, чем в 10 раз.

Этап 2 – 2 балла. Оценка возможности создания точечных изображений звезд.

Этап включает определение минимального углового размера изображения (1 балл). При этом коэффициент 2, приведенный в решении, не является обязательным — он может быть опущен или заменен коэффициентом 1.4, соответствующим наложению изображений по теореме Пифагора. Однако, если коэффициент не попадает в интервал от 1 до 2, оценка уменьшается на 1 балл. Второй балл выставляется в случае правильного вывода о невозможности точечных изображений. Если этот вывод сделан без корректного вычисления геометрического и дифракционного изображения, оценка за два первых этапа в сумме не превосходит 1 балл.

Этап 3 – 2 балла. Определение размера отверстия и углового размера изображения для Сириуса.

Ответ может быть в 1.4 или 2 раза меньше приведенного выше, если в такое же число раз меньшим оказывается угол $\theta$ при выполнении предыдущих этапов (см. выше), это не влияет на оценку. Однако, если на угловой размер изображения Сириуса влияет дифракция на крупном отверстии, то вне зависимости от ответа данный этап не засчитывается. Правильное численное определение обеих величин оценивается по 1 баллу.

Подборка