ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ВОКРУГ МАРСА

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2011ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_03be4239588df737 ID p_7039b0413c5b1ad0
Предложить исправление

Спутник сферической формы движется по круговой орбите вокруг Марса в плоскости его экватора в том же направлении, в котором планета обращается вокруг своей оси. Космонавт, находящийся на поверхности планеты, обнаружил, что спутник в зените на одну звездную величину ярче, чем на горизонте. Условия освещения спутника Солнцем (угол «Солнце-спутникнаблюдатель») были при этом одинаковыми. С какой стороны горизонта – западной или восточной – восходит этот спутник при наблюдении с поверхности Марса? Поглощением света в атмосфере Марса пренебречь.

Решение

Показать решение

При одинаковых условиях освещения Солнцем (одинаковом фазовом угле) разница в видимом блеске спутника возникает вследствие изменения его расстояния от наблюдателя. Когда аппарат находится над горизонтом, он дальше, чем при наблюдении в зените. По условию задачи, разница блеска равна 1m, и отношение освещенностей, создаваемых спутником, K, равно 2.512:

E z E h = H 2 h 2 = K = 2.512 \frac{E_z}{E_h} = \frac{H^2}{h^2} = K = 2.512

где h – высота орбиты спутника, H – расстояние до спутника, когда он находится на горизонте. Эти величины легко выразить через радиус орбиты спутника r и радиус Марса R:

h = r − R ; h = r - R;
H 2 = r 2 − R 2. H^2 = r^2 - R^2.

Тогда

( r − R ) ( r + R ) ( r − R ) 2 = r + R r − R = K ; r = R ⋅ K + 1 K − 1 ≈ 7890  km . \frac{(r-R) (r+R)}{(r-R)^2} = \frac{r+R}{r-R} = K; \qquad r = R \cdot \frac{K+1}{K-1} \approx 7890 \text{ km}.

Спутник обращается вокруг Марса в том же направлении, в котором Марс обращается вокруг своей оси. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сравнить период обращения спутника с периодом осевого вращения Марса. Орбитальный период спутника определяется из III закона Кеплера:

T = 2 π r 3 G M . T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}.

Здесь M – масса Марса. Период получается равным около 6 часов, что значительно меньше марсианских звездных суток (около 25 часов). В итоге, спутник, двигаясь по орбите с запада на восток, будет обгонять осевое вращение планеты и при наблюдении с поверхности восходить в западной части горизонта и заходить с восточной стороны.

К данному выводу можно прийти даже без вычисления орбитального периода. Достаточно вспомнить, что спутник Марса Фобос обращается вокруг планеты по орбите с большим радиусом (9380 км) и восходит над западным горизонтом. Можно также вычислить радиус стационарной орбиты для Марса, который примерно вдвое меньше аналогичной высоты для Земли, но существенно больше радиуса орбиты спутника, рассматриваемого в задаче.