ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: А. В. Веселова

АстрономияРегиональный10 класс2023Есть решение редакция rv_9758ceea290ab907 ID p_70820914e5789991
Предложить исправление

Околоземный спутник массой 99.9 кг двигался по высокой круговой орбите. В некоторый момент времени он испытал лобовое соударение с обломком космического мусора массой 0.1 кг, двигавшимся в том же направлении с вдвое меньшей скоростью, после чего продолжил движение с застрявшим обломком. Чему в % от радиуса первоначальной орбиты равна разность высот перицентра и апоцентра новой орбиты спутника?

Решение

Показать решение

Запишем закон сохранения импульса для ситуации до и после соударения:

m 1 V 1 + m 2 V 2 = ( m 1 + m 2 ) V , 99.9 V 1 + 0.1 ⋅ 0.5 V 1 = 100 V , V = 0.9995 V 1. m_1V_1+m_2V_2=(m_1+m_2)V, \quad 99.9V_1+0.1\cdot0.5V_1=100V, \quad V=0.9995V_1.

Скорость спутника уменьшилась на долю κ = 0.0005 \kappa = 0.0005 . Пусть R – радиус первоначальной орбиты спутника, V 1 V_1 – круговая скорость на этой орбите. Тогда круговую скорость можно выразить через радиус орбиты и массу Земли как

V 1 2 = G M ⊕ R . V_1^2 = \frac{GM_{\oplus}}{R}.

Определим большую полуось новой орбиты спутника. Для этого запишем интеграл энергий, учтя, что скорость спутника изменилась на долю к:

( 1 − κ ) 2 V 1 2 = G M ⊕ ( 2 R − 1 a ) . (1-\kappa)^2 V_1^2 = GM_{\oplus} \left(\frac{2}{R} - \frac{1}{a}\right).

Подставив значение V 1 2 V_1^2 , получим

( 1 − κ ) 2 = 2 − R a , 1 − 2 κ + κ 2 = 2 − R a , a = R 1 + 2 κ − κ 2 . (1-\kappa)^2 = 2 - \frac{R}{a}, \quad 1-2\kappa + \kappa^2 = 2 - \frac{R}{a}, \quad a = \frac{R}{1+2\kappa - \kappa^2}.

Эксцентриситет новой орбиты определим из условия для апоцентра орбиты: в точке столкновения с обломком мусора скорость спутника была перпендикулярна радиус-вектору. Следовательно, эта точка является апоцентром или перицентром новой орбиты. Поскольку космический аппарат замедлился, то точка соударения является точкой апоцентра орбиты. Тогда выполняется соотношение

R = a ( 1 + e ) , e = R a − 1 = 1 + 2 κ − κ 2 − 1 = 2 κ − κ 2. R=a(1+e), \quad e=\frac{R}{a}-1=1+2\kappa-\kappa^2-1=2\kappa-\kappa^2.

Высоты в перицентре и апоцентре новой орбиты равны

H α = a ( 1 + e ) − R ⊕ , H π = a ( 1 − e ) − R ⊕ . H_{\alpha} = a(1+e) - R_{\oplus}, \quad H_{\pi} = a(1-e) - R_{\oplus}.

Следовательно, разность высот равна

Δ H = 2 a e = 2 ⋅ R 1 + 2 κ − κ 2 ⋅ ( 2 κ − κ 2 ) . \Delta H = 2 a e = 2 \cdot \frac{R}{1 + 2 \kappa - \kappa^2} \cdot (2 \kappa - \kappa^2).

Пересчет в проценты от радиуса исходной орбиты дает выражение

Δ H R ⋅ 100 % = 4 κ − 2 κ 2 1 + 2 κ − κ 2 ⋅ 100 % . \frac{\Delta H}{R} \cdot 100\% = \frac{4 \kappa - 2 \kappa^2}{1 + 2 \kappa - \kappa^2} \cdot 100\%.

В нашем случае κ = 0.0005 = 0.05 % \kappa = 0.0005 = 0.05\% , что дает итоговое значение 0.2%. Заметим, что при малых κ \kappa слагаемыми с κ 2 \kappa^2 можно пренебречь, в том числе и в промежуточных формулах, что при точности данных в условиях не скажется на точности получаемого ответа.