ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.4 ИЗУЧАЕМ ЭКЗОПЛАНЕТЫ

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия9 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_b32688d4960aa483 ID p_70b11101ec4b12d2
Предложить исправление

Спутник TESS наблюдает транзит экзопланеты по диску звезды. Во время максимума затмения поток от звезды уменьшается на 4 %. Длительность «плоского дна» кривой блеска в три раза меньше, чем длительность всего транзита. Определите наклонение орбиты экзопланеты к лучу зрения, если полная длительность транзита составляет 1 % от периода. Орбиту считать круговой. Потемнением диска звезды к краю пренебрегите.

Решение

Показать решение

Во время прохождения планета блокирует часть света звезды. Раз кривая блеска имеет «плоское дно», планета полностью заходит на диск звезды и какое-то время перемещается по нему не выходя за край. Пусть и — радиусы звезды и планеты соответственно. Из того, что падение блеска составляет 4 %, следует, что площадь диска планеты составляет 0.04 площади диска звезды. Тогда = 0.2.

Рассмотрим геометрию прохождения планеты. Пусть — минимальное расстояние между центрами дисков планеты и звезды. В момент, когда планета начинает заходить на диск звезды (первое касание) центры звезды и планеты разделяет расстояние + , а когда планета целиком заходит на диск звезды (второе касание) расстояние между центрами уже − . Расстояние, которое проходит планета между вторым и третьим касаниями (начало схода с диска), обозначим как 22, а расстояние между первым и последним касаниями — как 21. Из условия делаем вывод, что 1 = 32.

Из теоремы Пифагора можем записать:

L 1 2 = ( R + r ) 2 − H 2 , L_1^2 = (R+r)^2 - H^2,

L 2 2 = ( R − r ) 2 − H 2. L_2^2 = (R-r)^2 - H^2.

( R + r ) 2 − H 2 = 9 [ ( R − r ) 2 − H 2 ] (R+r)^2 - H^2 = 9[(R-r)^2 - H^2]

Нам неизвестны значения и по отдельности, но известно их отношение. Поэтому мы можем вычислить величину только в долях, например, радиуса звезды . После несложных

преобразований получаем

H = R 2 + r 2 − 2.5 R r = R 1 + ( r R ) 2 − 2.5 r R = R 1 + 0.04 − 2.5 ⋅ 0.2 ≈ 0.73 R . H = \sqrt{R^2 + r^2 - 2.5Rr} = R\sqrt{1 + \left(\frac{r}{R}\right)^2 - 2.5\frac{r}{R}} = R\sqrt{1 + 0.04 - 2.5 \cdot 0.2} \approx 0.73R.

За время транзита планета проходит расстояние

2 L 1 = 2 R ( 1 + r R ) 2 − ( H R ) 2 = 2 R 1.2 2 − 0.73 2 ≈ 1.9 R . 2L_1 = 2R\sqrt{\left(1 + \frac{r}{R}\right)^2 - \left(\frac{H}{R}\right)^2} = 2R\sqrt{1.2^2 - 0.73^2} \approx 1.9R.

По условию эта величина составляет 0.01 длины орбиты, а значит радиус орбиты a можно выразить как

2 L 1 2 π a = 0.01 , ⇒ a = L 1 0.01 π = 1.9 R 2 ⋅ 0.01 π ≈ 30 R . \frac{2L_1}{2\pi a} = 0.01, \quad \Rightarrow \quad a = \frac{L_1}{0.01\pi} = \frac{1.9R}{2 \cdot 0.01\pi} \approx 30R.

Наклонение орбиты можно выразить из радиуса орбиты и (см. рисунок):

sin i = H a ≈ 0.73 R 30 R ≈ 0.024 , ⇒ i = arcsin ( 0.024 ) ≈ 1.4 ∘ . \sin i = \frac{H}{a} \approx \frac{0.73R}{30R} \approx 0.024, \quad \Rightarrow \quad i = \arcsin(0.024) \approx 1.4^{\circ}.