ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

АстрономияКлассы неизвестны2019ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_9e2cc88cc5d633a2 ID p_70f417f7cf83adc3
Предложить исправление
    1. Условие. Рассеянное скопление имеет радиус 10 пк и состоит из звезд, подобных Солнцу, газа и пыли. Расстояние до скопления равно 1 кпк. Газопылевое облако имеет тот же центр и радиус, а оптическая толщина по диаметру равна 100. Звезды, газ и пыль распределены в скоплении однородно. Пылинки черные, их радиус 1 мкм, плотность 1 г/см3. Массовый вклад пыли составляет 1/100 от вклада газа, газ прозрачен. В земные телескопы в скоплении видно 100 звезд блеском ярче 20m. Определите, какая доля полной массы скопления содержится в звездах. Межзвездным поглощением вне скопления и волновыми эффектами на пыли пренебречь.

Решение

Показать решение
    1. Решение. Определим, какую звездную величину имели бы звезды скопления при отсутствии поглощения света пылью:
m 0 = m A − 5 + 5 lg d = 14.7. m_0 = m_A - 5 + 5 \lg d = 14.7.

3десь m A m_A – абсолютная звездная величина звезды, d – расстояние до скопления. В реальности, звезды выглядят слабее. Определим оптическую толщину слоя пыли, при котором звезда будет иметь предельную для указанного в условии телескопа звездную величину т=20:

τ = ln 10 0.4 ( m − m 0 ) = 0.4 ( m − m 0 ) ⋅ ln 10 = 0.92 ( m − m 0 ) ≈ 5. \tau = \ln 10^{0.4(m-m_0)} = 0.4(m-m_0) \cdot \ln 10 = 0.92(m-m_0) \approx 5.

Нам известно, что скопление однородное, а его оптическая толщина по диаметру (расстояние 2R) равна τ 0 = 100 \tau_0 = 100 . Тогда расстояние сквозь скопление, соответствующее заданной оптической толшине, равно

l = 2 R τ τ 0 = R 10 . l=2R\frac{\tau}{\tau_0}=\frac{R}{10}.

Здесь R – радиус скопления. Получается, что мы видим звезды только в переднем по отношению к нам тонком слое скопления. Форма этого слоя показана на рисунке, он представляет собой область пространства между двумя сферами радиуса R, сдвинутыми друг относительно друга на расстояние l. Как видно на рисунке, с учетом малой толщины этой области, ее объем практически равен объему диска с радиусом R и толщиной l, показанным на рисунке «с ребра». Эффекты на оптически тонких краях скопления незначительны. Обе фигуры можно составить из малых фрагментов одинакового объема, один из которых показан на рисунке темно-серым цветом. Объем данного пространства V, занимаемый видимыми звездами скопления, равен π R 2 l \pi R^2 l . К этому же выводу можно прийти несколько более сложным образом, заметив, что пространство есть разница двух сегментов шара одинаковым радиусом R и высотами (R+l) и R.

V = π ( R + l ) 2 3 ( 3 R − R − l ) − π R 2 3 ( 3 R − R ) = π 3 ( ( R + l ) 2 ( 2 R − l ) − R 3 ) . V = \frac{\pi (R+l)^2}{3} (3R - R - l) - \frac{\pi R^2}{3} (3R - R) = \frac{\pi}{3} ((R+l)^2 (2R - l) - R^3).

C учетом l << R мы имеем:

V ≈ π 3 ( ( R 2 + 2 R l ) 2 ( 2 R − l ) − r 3 ) ≈ π R 3 l . V \approx \frac{\pi}{3} ((R^2 + 2Rl)^2 (2R - l) - r^3) \approx \pi R^3 l.

Число звезд в данной области N=100. Определим полное число звезд в скоплении:

N 0 = N ⋅ 4 π R 3 3 ⋅ 1 π R 2 l = N 4 R 3 l = 40 N 3 ≈ 1300. N_0 = N \cdot \frac{4\pi R^3}{3} \cdot \frac{1}{\pi R^2 l} = N \frac{4R}{3l} = \frac{40N}{3} \approx 1300.

Суммарная масса звезд скопления M * M_* есть 1300 масс Солнца или 2.6 ⋅ 10 33 2.6 \cdot 10^{33} кг. Найдем теперь концентрацию пылинок n, исходя из их оптической толщины (числа пылинок на луче зрения) по диаметру:

τ 0 = n ⋅ π r 2 ⋅ 2 R ; \tau_0 = n \cdot \pi r^2 \cdot 2R;
n = τ 0 2 π R r 2 = 5.3 ⋅ 10 − 5  m − 3 . n = \frac{\tau_0}{2\pi Rr^2} = 5.3 \cdot 10^{-5} \text{ m}^{-3}.

Теперь мы можем определить полное число пылинок

N D = n ⋅ 4 π R 3 3 = 6.5 ⋅ 10 48 . N_{\rm D} = n \cdot \frac{4\pi R^3}{3} = 6.5 \cdot 10^{48}.

и массу пыли в скоплении:

M D = n ⋅ 4 π R 3 3 ⋅ ρ ⋅ 4 π r 3 3 = 8 π τ 0 ρ R 2 r 9 = 2.6 ⋅ 10 34  Kg . M_{\rm D} = n \cdot \frac{4\pi R^3}{3} \cdot \rho \cdot \frac{4\pi r^3}{3} = \frac{8\pi \tau_0 \rho R^2 r}{9} = 2.6 \cdot 10^{34} \text{ Kg}.

Масса газа M G M_{\rm G} есть 100 M D 100 M_{\rm D} или 2.6 ⋅ 10 36 2.6 \cdot 10^{36} кг. Теперь мы можем определить массовый вклад звезд в скоплении:

η * = M * M * + M D + M G ≈ M * M G = 0.001. \eta_* = \frac{M_*}{M_* + M_D + M_G} \approx \frac{M_*}{M_G} = 0.001.

Критерии

Показать критерии

6. Система оценивания. Решение задания разделяется на несколько этапов, которые могут производиться в разном порядке:

Этап 1-2 балла. Определение длины l – глубины расположения звезды в скоплении по лучу зрения, с которой она может иметь заданную в условии видимую звездную величину.

Этап засчитывается при условии правильного использования формул для видимой звездной величины в данных условиях и правильного соотношения длины l к радиусу скопления R с точностью 10% (т.е. l/R от 0.09 до 0.11). При этом допускается исключение коэффициента 0.92 (приравнивание к единице) и использование приближенного значения абсолютной

звездной величины Солнца (+5m), которые не выведут ответ за пределы данного интервала. При больших погрешностях этап не засчитывается. Если отношение l/R оказывается большим единицы или если такое соотношение вытекает из решения участника – оценка за все решение задания обнуляется.

Возможная ошибка при решении: замена диаметра скопления радиусом, что уменьшает глубину l вдвое. В этом случае этап засчитывается наполовину (1 балл), но последующие этапы (кроме последнего) оцениваются в полной мере.

Этап 2 – 2 балла. Определение объема области скопления, занимаемой видимыми звездами.

Объем может быть определен на основе геометрических рассуждений, приведенных выше, допускается использование численного интегрирования или применения формул для объема сегмента, каждый из способов одинаково верен. 2 балла выставляется в случае правильного понимания типа фигуры и правильного вычисления объема. 1 балл выставляется при правильном понимании типа фигуры и ошибкой вычисления объема менее, чем в 1.5 раза.

Возможная ошибка при решении: неправильное понимание фигуры. Она может быть представлена, как тонкий полусферический слой толщиной l, его объем равен 2πR2 l, превышая правильный вдвое. Эта фигура может быть также представлена как область между сферой и эллипсоидом (аналогично серпу Луны, только в трехмерном пространстве). Ее объем составляет 2πR2 l/3, то есть 2/3 от верного. В этих случаях за второй этап решения выставляется 1 балл, но остальные (кроме последнего) оцениваются в полной мере. Если полученный объем превышает объем всего скопления или если такое соотношение вытекает из решения участника – оценка за все решение задания обнуляется.

Этап 3 – 1 балл. Определение общей массы звезд скопления.

Может выполняться численно или в виде формульных соотношений. Ошибки, сделанные на предыдущих этапах (кроме обнуляющих всю оценку), не влияют за оценку за данный этап.

Этап 4 – 2 балла. Определение массы пыли в скоплении.

Допускается отклонение ответа на 20%, связанное с приближенными вычислениями, при ошибке до 50% оценка уменьшается на 1 балл. Если при вычислении неправильно интерпретируется оптическая толщина (не как число пылинок на луче зрения) или делаются качественные ошибки в формулах – этап не засчитывается.

Этап 5 – 1 балл. Определение массового вклада звезд в скопление.

Засчитывается при правильных вычислениях и правильном ответе. Допускаются погрешности, вызванные оценками величины l на первом этапе, а также неверным представлением фигуры на втором этапе, если их суммарный эффект не превосходит 2 раз.